空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．
(1) 実数$x$の関数$f(x)=|\sin 2x+2 \sin x+2 \cos x|$の最大値は$\fbox{ア}$である．
(2) 行列$A=\left( \begin{array}{cc} \cos \theta & -2 \sin \theta \\ \displaystyle\frac{1}{2} \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right)$が$0<\theta<\pi$の範囲で$A^5=A^2$を満たすとき，実数$\theta$の値は$\fbox{イ}$である．
(3) 定積分$\displaystyle \int_0^{-1} \frac{x^2-1}{x^2+1} \, dx$の値は$\fbox{ウ}$である．
(4) $n$をある自然数とする．実数$x$に対して，方程式$7 \sin^{8n} x+x=0$の解の個数は$\fbox{エ}$である．
(5) $\displaystyle 0<a<\frac{1}{4}$とする．座標平面において，方程式$\displaystyle -4ax+\sqrt{(x+a)^2+y^2}=\frac{1}{4}$で表される曲線が囲む図形の面積は$\fbox{オ}$である． $x+y+z+w=20$を満たす正の整数$x,\ y,\ z,\ w$の組は全部で$\fbox{カ}$個である． $7$つの実数$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\sqrt{\pi}$，$\sqrt{3}$，$\displaystyle \frac{\pi^2}{8}$，$\displaystyle \sin \frac{\pi}{8}$，$\displaystyle \cos \frac{\pi}{8}$，$\displaystyle \tan \frac{\pi}{8}$を小さい方から順に並べたものを$A<B<C<D<E<F<G$とする．このとき実数$A^2$の値は$\fbox{キ}$であり，$E^2-F^2+G^2$の値は$\fbox{ク}$である．