慶應義塾大学
2012年 総合政策学部 第5問
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自然数$n$に対し整数を値にとる関数$f(n)$を次のように定める.
テーブルの上には$n$個の碁石が置かれている.$2$人のプレーヤー$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が交互に碁石を$1$個あるいは$2$個とる.そして最後に碁石をとったプレーヤーが負けである.ゲームは$\mathrm{A}$から始める.$\mathrm{B}$がいかなるとり方をしても,$\mathrm{A}$が最良のとり方をすれば勝てるときは$f(n)=1$とする.逆に$\mathrm{A}$がいかなるとり方をしても,$\mathrm{B}$が最良のとり方をすれば勝てないときは$f(n)=-1$とする.それ以外の場合は$f(n)=0$とする.たとえば$f(1)=-1$,$f(2)=1$である.
\[ f(3)=\fbox{(101)}\fbox{(102)},\quad f(4)=\fbox{(103)}\fbox{(104)},\quad f(5)=\fbox{(105)}\fbox{(106)} \]
であり
\[ \sum_{n=1}^{20}f(n)=\fbox{(107)}\fbox{(108)} \]
となる.
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