慶應義塾大学
2016年 経済学部 第2問
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以下の条件で定められる数列$\{a_n\}$がある.
\[ a_1=\frac{1}{10},\quad a_{n+1}=\frac{1}{100}a_n+\frac{1}{10} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(1) $\{a_n\}$の階差数列$\{b_n\}$を$b_n=a_{n+1}-a_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める.$\{b_n\}$は等比数列で,初項を$\displaystyle \frac{1}{{10}^p}$,公比を$\displaystyle \frac{1}{{10}^q}$とおくと,$p=\fbox{$13$}$,$q=\fbox{$14$}$となる.ゆえに,$\{b_n\}$の第$n$項を \[ b_n=\frac{1}{{10}^{rn+s}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] とおくと,$r=\fbox{$15$}$,$s=\fbox{$16$}$となる.さらに,$\{a_n\}$の第$n$項は, \[ a_n=a_1+\sum_{k=\fbox{$17$}}^{n+\fbox{$18$}\fbox{$19$}} b_k=\frac{\displaystyle\frac{1}{{10}^t} \left( 1-\frac{1}{{10}^{un}} \right)}{1-\displaystyle\frac{1}{{10}^v}} \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \] と求められる.ここで,$t=\fbox{$20$}$,$u=\fbox{$21$}$,$v=\fbox{$22$}$である.
(2) $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{{10}^{2k} a_k a_{k+1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく.関係式 \[ \frac{b_k}{a_k a_{k+1}}=\frac{\fbox{$23$}\fbox{$24$}}{a_k}+\frac{\fbox{$25$}\fbox{$26$}}{a_{k+1}} \quad (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] を用いて計算すると, \[ S_n=\frac{{10}^w \left( 1-\displaystyle\frac{1}{{10}^{xn}} \right)}{1-\displaystyle\frac{1}{{10}^{yn+z}}} \] となる.ここで,$w=\fbox{$27$}$,$x=\fbox{$28$}$,$y=\fbox{$29$}$,$z=\fbox{$30$}$である.
(3) $({100}^{n+1}-1)S_n$は$\fbox{$31$}n+\fbox{$32$}\fbox{$33$}$桁の整数になる.
(1) $\{a_n\}$の階差数列$\{b_n\}$を$b_n=a_{n+1}-a_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める.$\{b_n\}$は等比数列で,初項を$\displaystyle \frac{1}{{10}^p}$,公比を$\displaystyle \frac{1}{{10}^q}$とおくと,$p=\fbox{$13$}$,$q=\fbox{$14$}$となる.ゆえに,$\{b_n\}$の第$n$項を \[ b_n=\frac{1}{{10}^{rn+s}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] とおくと,$r=\fbox{$15$}$,$s=\fbox{$16$}$となる.さらに,$\{a_n\}$の第$n$項は, \[ a_n=a_1+\sum_{k=\fbox{$17$}}^{n+\fbox{$18$}\fbox{$19$}} b_k=\frac{\displaystyle\frac{1}{{10}^t} \left( 1-\frac{1}{{10}^{un}} \right)}{1-\displaystyle\frac{1}{{10}^v}} \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \] と求められる.ここで,$t=\fbox{$20$}$,$u=\fbox{$21$}$,$v=\fbox{$22$}$である.
(2) $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{{10}^{2k} a_k a_{k+1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく.関係式 \[ \frac{b_k}{a_k a_{k+1}}=\frac{\fbox{$23$}\fbox{$24$}}{a_k}+\frac{\fbox{$25$}\fbox{$26$}}{a_{k+1}} \quad (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] を用いて計算すると, \[ S_n=\frac{{10}^w \left( 1-\displaystyle\frac{1}{{10}^{xn}} \right)}{1-\displaystyle\frac{1}{{10}^{yn+z}}} \] となる.ここで,$w=\fbox{$27$}$,$x=\fbox{$28$}$,$y=\fbox{$29$}$,$z=\fbox{$30$}$である.
(3) $({100}^{n+1}-1)S_n$は$\fbox{$31$}n+\fbox{$32$}\fbox{$33$}$桁の整数になる.
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