上智大学
2014年 法(国際) 第3問
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![aを-1でない実数とし,座標平面において,放物線C:y=(x^2-2x+1)+a(x^2-5x+6)を考える.(1)Cは,aの値によらず2点P([ソ],[タ]),Q([チ],[ツ])を必ず通る.ただし,[ソ]<[チ]とする.(2)点PにおけるCの接線をℓ,点QにおけるCの接線をℓ´とする.ℓとℓ´の交点の座標は(\frac{[テ]}{[ト]},\frac{[ナ]}{[ニ]}a+[ヌ])である.(3)Cの軸はx=1/2([ネ]+\frac{[ノ]}{a+[ハ]})である.(4)Cがx軸と異なる2点で交わるのはa<[ヒ]または[フ]<a(ただしa≠-1)のときである.(5)a=[フ]のとき,Cは点(\frac{[ヘ]}{[ホ]},0)でx軸と接する.\monCがx軸と2点(α,0),(β,0)(ただしα<β)で交わるとき,β-α=2/3√5となるのは,a=[マ]またはa=\frac{[ミ]}{[ム]}のときである.ただし,[マ]<\frac{[ミ]}{[ム]}とする.a=[マ]のとき,Cとx軸で囲まれた図形の面積は\frac{[メ]}{[モ]}\sqrt{[ヤ]}である.](./thumb/220/3188/2014_3.png)
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$a$を$-1$でない実数とし,座標平面において,放物線
\[ C:y=(x^2-2x+1)+a(x^2-5x+6) \]
を考える.
(1) $C$は,$a$の値によらず$2$点$\mathrm{P}(\fbox{ソ},\ \fbox{タ})$,$\mathrm{Q}(\fbox{チ},\ \fbox{ツ})$を必ず通る.ただし,$\fbox{ソ}<\fbox{チ}$とする.
(2) 点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$,点$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$\ell^\prime$とする.$\ell$と$\ell^\prime$の交点の座標は$\displaystyle \left( \frac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}},\ \frac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}}a+\fbox{ヌ} \right)$である.
(3) $C$の軸は$\displaystyle x=\frac{1}{2} \left( \fbox{ネ}+\frac{\fbox{ノ}}{a+\fbox{ハ}} \right)$である.
(4) $C$が$x$軸と異なる$2$点で交わるのは
$a<\fbox{ヒ}$ \ または \ $\fbox{フ}<a$ \quad (ただし$a \neq -1$)
のときである.
(5) $a=\fbox{フ}$のとき,$C$は点$\displaystyle \left( \frac{\fbox{ヘ}}{\fbox{ホ}},\ 0 \right)$で$x$軸と接する. $C$が$x$軸と$2$点$(\alpha,\ 0)$,$(\beta,\ 0)$(ただし$\alpha<\beta$)で交わるとき,$\displaystyle \beta-\alpha=\frac{2}{3} \sqrt{5}$となるのは,$a=\fbox{マ}$または$\displaystyle a=\frac{\fbox{ミ}}{\fbox{ム}}$のときである.ただし,$\displaystyle \fbox{マ}<\frac{\fbox{ミ}}{\fbox{ム}}$とする.$a=\fbox{マ}$のとき,$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{メ}}{\fbox{モ}} \sqrt{\fbox{ヤ}}$である.
(1) $C$は,$a$の値によらず$2$点$\mathrm{P}(\fbox{ソ},\ \fbox{タ})$,$\mathrm{Q}(\fbox{チ},\ \fbox{ツ})$を必ず通る.ただし,$\fbox{ソ}<\fbox{チ}$とする.
(2) 点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$,点$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$\ell^\prime$とする.$\ell$と$\ell^\prime$の交点の座標は$\displaystyle \left( \frac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}},\ \frac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}}a+\fbox{ヌ} \right)$である.
(3) $C$の軸は$\displaystyle x=\frac{1}{2} \left( \fbox{ネ}+\frac{\fbox{ノ}}{a+\fbox{ハ}} \right)$である.
(4) $C$が$x$軸と異なる$2$点で交わるのは
$a<\fbox{ヒ}$ \ または \ $\fbox{フ}<a$ \quad (ただし$a \neq -1$)
のときである.
(5) $a=\fbox{フ}$のとき,$C$は点$\displaystyle \left( \frac{\fbox{ヘ}}{\fbox{ホ}},\ 0 \right)$で$x$軸と接する. $C$が$x$軸と$2$点$(\alpha,\ 0)$,$(\beta,\ 0)$(ただし$\alpha<\beta$)で交わるとき,$\displaystyle \beta-\alpha=\frac{2}{3} \sqrt{5}$となるのは,$a=\fbox{マ}$または$\displaystyle a=\frac{\fbox{ミ}}{\fbox{ム}}$のときである.ただし,$\displaystyle \fbox{マ}<\frac{\fbox{ミ}}{\fbox{ム}}$とする.$a=\fbox{マ}$のとき,$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{メ}}{\fbox{モ}} \sqrt{\fbox{ヤ}}$である.
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