大阪市立大学
2010年 文系 第3問
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$a,\ b$を正の実数とし,座標平面上の放物線$C : y = ax^2 +b$を考える.$t,\ s$は正の実数とし,点P$(t,\ at^2 +b)$における$C$の接線を$\ell_P$,点Q$(s,\ as^2 +b)$における$C$の接線を$\ell_Q$で表す.$\ell_P$は原点を通っているとする.次の問いに答えよ.
(1) $\ell_P$の傾きが1未満となるための必要十分条件を,$a$と$b$を用いて表せ.
(2) $\ell_P$の傾きは1未満とし,$\ell_P$と$x$軸がなす鋭角を$\theta$と表す.Qを$\ell_Q$と$x$軸のなす鋭角が$2\theta$になるようにとるとき,$\ell_Q$の傾きを$a$と$b$を用いて表せ.
(3) $a,\ b$が$\displaystyle a+b = \frac{1}{2}$をみたすとき,$\ell_P$の傾きは1未満であることを示せ.
(4) $a,\ b$は$\displaystyle a+b = \frac{1}{2}$をみたすものとし,Qを(2)のようにとる.$\ell_Q$の傾きが最大になるような$a,\ b$を求めよ.
(1) $\ell_P$の傾きが1未満となるための必要十分条件を,$a$と$b$を用いて表せ.
(2) $\ell_P$の傾きは1未満とし,$\ell_P$と$x$軸がなす鋭角を$\theta$と表す.Qを$\ell_Q$と$x$軸のなす鋭角が$2\theta$になるようにとるとき,$\ell_Q$の傾きを$a$と$b$を用いて表せ.
(3) $a,\ b$が$\displaystyle a+b = \frac{1}{2}$をみたすとき,$\ell_P$の傾きは1未満であることを示せ.
(4) $a,\ b$は$\displaystyle a+b = \frac{1}{2}$をみたすものとし,Qを(2)のようにとる.$\ell_Q$の傾きが最大になるような$a,\ b$を求めよ.
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