静岡大学
2016年 教育・農・理(生物,地球) 第1問
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一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$が平面上にある.ただし,頂点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$は,この順に反時計回りに並んでいるものとする.このとき,次の各問に答えよ.
(1) 内積$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$の値を求めよ.
(2) 点$\mathrm{P}$を平面上の点とするとき,$\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PD}}$を証明せよ.
(3) 点$\mathrm{P}$が平面上を動くとき,$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}}+\overrightarrow{\mathrm{PD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PA}}$の最小値を求めよ.また,その最小値を与える点$\mathrm{P}$について,$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ.
(1) 内積$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$の値を求めよ.
(2) 点$\mathrm{P}$を平面上の点とするとき,$\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PD}}$を証明せよ.
(3) 点$\mathrm{P}$が平面上を動くとき,$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}}+\overrightarrow{\mathrm{PD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PA}}$の最小値を求めよ.また,その最小値を与える点$\mathrm{P}$について,$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ.
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