電気通信大学
2010年 理系 第3問
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数列$\{a(n)\}$を$a(1)=1$および$n \geqq 1$に対して
\[ \left\{
\begin{array}{l}
a(2n) = 3a(n) \\
a(2n+1)=2a(n)+a(n+1)
\end{array}
\right. \]
で定義する.以下の問いに答えよ.
(1) $a(2),\ a(3),\ a(4),\ a(5)$を求めよ.
次に数列$\{b(n)\}$を$b(1)=a(1)$および$n \geqq 2$に対して \[ b(n)=a(n)-a(n-1) \] で定義する.
[(2)] $b(2),\ b(3),\ b(4),\ b(5)$を求めよ. [(3)] すべての自然数$n$に対して, \[ \left\{ \begin{array}{l} b(2n) = 2b(n) \\ b(2n+1)=b(n+1) \end{array} \right. \] が成り立つことを証明せよ. [(4)] 自然数$k$に対して$b(2^k)$および$b(2^k+1)$を計算せよ. [(5)] 自然数$k$に対して$a(2^k-1)$を計算せよ.
(1) $a(2),\ a(3),\ a(4),\ a(5)$を求めよ.
次に数列$\{b(n)\}$を$b(1)=a(1)$および$n \geqq 2$に対して \[ b(n)=a(n)-a(n-1) \] で定義する.
[(2)] $b(2),\ b(3),\ b(4),\ b(5)$を求めよ. [(3)] すべての自然数$n$に対して, \[ \left\{ \begin{array}{l} b(2n) = 2b(n) \\ b(2n+1)=b(n+1) \end{array} \right. \] が成り立つことを証明せよ. [(4)] 自然数$k$に対して$b(2^k)$および$b(2^k+1)$を計算せよ. [(5)] 自然数$k$に対して$a(2^k-1)$を計算せよ.
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