秋田県立大学
2014年 理系 第4問
4
![平面上に三つの異なる定点O,A,Bがある.線分ABの中点をMとする.また,同じ平面上に動点Pがあり,∠APB=π/2を満たす.ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOM=ベクトルmとする.以下の設問に答えよ.(1)は解答のみでよく,(2),(3)は解答とともに導出過程も記述せよ.(1)ベクトルmをベクトルa,ベクトルbを用いて表せ.(2)|ベクトルMP|をベクトルa,ベクトルbを用いて表せ.(3)|ベクトルa|=2,|ベクトルb|=\sqrt{14},ベクトルa・ベクトルb=-6が成り立つ.また,ベクトルaとベクトルmのなす角をα,ベクトルaとベクトルMPのなす角をβとする.ただし,0≦α≦π,0≦β≦πとする.以下の設問(i),(ii),(iii)に答えよ.(i)cosαの値を求めよ.(ii)△OPAの面積が最大となるときのβの値を求めよ.(iii)△OPAの面積の最大値を求めよ.](./thumb/67/2252/2014_4.png)
4
平面上に三つの異なる定点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$がある.線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする.また,同じ平面上に動点$\mathrm{P}$があり,$\displaystyle \angle \mathrm{APB}=\frac{\pi}{2}$を満たす.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\overrightarrow{m}$とする.以下の設問に答えよ.$(1)$は解答のみでよく,$(2)$,$(3)$は解答とともに導出過程も記述せよ.
(1) $\overrightarrow{m}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(2) $|\overrightarrow{\mathrm{MP}}|$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(3) $|\overrightarrow{a}|=2$,$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{14}$,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=-6$が成り立つ.また,$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{m}$のなす角を$\alpha$,$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{\mathrm{MP}}$のなす角を$\beta$とする.ただし,$0 \leqq \alpha \leqq \pi$,$0 \leqq \beta \leqq \pi$とする.以下の設問$\tokeiichi$,$\tokeini$,$\tokeisan$に答えよ.
(ⅰ) $\cos \alpha$の値を求めよ.
(ⅱ) $\triangle \mathrm{OPA}$の面積が最大となるときの$\beta$の値を求めよ.
(ⅲ) $\triangle \mathrm{OPA}$の面積の最大値を求めよ.
(1) $\overrightarrow{m}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(2) $|\overrightarrow{\mathrm{MP}}|$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(3) $|\overrightarrow{a}|=2$,$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{14}$,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=-6$が成り立つ.また,$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{m}$のなす角を$\alpha$,$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{\mathrm{MP}}$のなす角を$\beta$とする.ただし,$0 \leqq \alpha \leqq \pi$,$0 \leqq \beta \leqq \pi$とする.以下の設問$\tokeiichi$,$\tokeini$,$\tokeisan$に答えよ.
(ⅰ) $\cos \alpha$の値を求めよ.
(ⅱ) $\triangle \mathrm{OPA}$の面積が最大となるときの$\beta$の値を求めよ.
(ⅲ) $\triangle \mathrm{OPA}$の面積の最大値を求めよ.
関連問題(関連度順)
コメント(0件)
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。