$a>0$に対し， \[ f(a) = \lim_{t \to +0} \int_t^1 |ax+x\log x| \, dx \] とおく．次の問いに答えよ．必要ならば，$\displaystyle \lim_{t \to +0} t^n \log t = 0\ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を用いてよい．
(1) $f(a)$を求めよ．
(2) $a$が正の実数全体を動くとき，$f(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．