実数$a,\ b$は$a>b>0$および$a^2-b^2=2ab$を満たすとする．$xy$平面上で$(a \cos \theta,\ b \sin \theta)$ \ \ $(0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$によって媒介変数表示された楕円を$C$とする．点$\displaystyle \mathrm{P}(b \cos t,\ a \sin t) \ \ \left( 0<t<\frac{\pi}{2} \right)$と$C$上の動点$\mathrm{Q}(a \cos \theta,\ b \sin \theta)$に対し，$f(\theta)=|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2$とおく．
(1) $f^\prime(\theta)=0$であるとき，$\sin 2\theta=\sin (\theta-t)$が成り立つことを示せ．
(2) $f^\prime(\theta)=0$となる$\theta$を$t$を用いて表せ．
(3) $f^\prime(\theta)=0$となる$\theta$がちょうど$3$つとなる$t$の値を求めよ．
(4) $t$を$(3)$で求めた値とする．このとき，$f^\prime(\theta)=0$となる各$\theta$に対応する$C$上の$3$点を頂点とする三角形の面積を$a,\ b$を用いて表せ．