埼玉大学
2014年 教育・経済学部 第4問
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関数$f_0(x)$，$f_1(x)$，$f_2(x)$，$f_3(x)$，$f_4(x)$は，$n=0,\ 1,\ 2,\ 3$に対して，$f_n(0)$が$0$に一致しないときか一致するときかという場合に応じて$f_{n+1}(x)$を$f_n(x)$から定める関係式
\[ f_{n+1}(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{d}{dx}f_n(x) & (f_n(0) \neq 0) \\ \\
\displaystyle \int_0^x f_n(t) \, dt+1 & (f_n(0)=0)
\end{array} \right. \]
をみたしているとする．
(1) $f_0(x)=x$のとき，$f_4(x)$を求めよ．
(2) $f_1(x)=0$ならば，$f_0(x)$は定数であることを証明せよ．
(3) $f_2(x)=0$ならば，$f_0(x)=ax+b$（$a,\ b$は定数）と表されることを証明せよ．
(1) $f_0(x)=x$のとき，$f_4(x)$を求めよ．
(2) $f_1(x)=0$ならば，$f_0(x)$は定数であることを証明せよ．
(3) $f_2(x)=0$ならば，$f_0(x)=ax+b$（$a,\ b$は定数）と表されることを証明せよ．
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