埼玉大学
2013年 工学部 第4問
4
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次の条件を満たす四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．
\begin{align}
& \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=2,\quad \overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=4,\quad \overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=3, \nonumber \\
& |\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=\sqrt{7},\quad |\overrightarrow{\mathrm{CD}}|=\sqrt{5},\quad |\overrightarrow{\mathrm{DB}}|=\sqrt{6} \nonumber
\end{align}
\imgc{118_1351_2013_1}
次の問いに答えよ．
(1) $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|$を求めよ．
(2) 点$\mathrm{D}$から3点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を含む平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{DH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ．
(3) 四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．
(1) $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|$を求めよ．
(2) 点$\mathrm{D}$から3点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を含む平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{DH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ．
(3) 四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．
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