埼玉大学
2013年 教育・経済学部 第4問
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$xyz$空間における平面$y=0$上のグラフ$z=2-x^2,\ (0 \leqq x \leqq \sqrt{2})$を$z$軸の周りに回転して得られるものを平面$x=a$で切りとる．ただし$0 \leqq a \leqq \sqrt{2}$とする．そのとき切り口の平面に曲線$G$が現れた．$G$上の点$(x,\ y,\ z)$は，
\[ x=a,\quad z=2-a^2-y^2 \quad (-\sqrt{2-a^2} \leqq y \leqq \sqrt{2-a^2}) \]
をみたす．切り口の平面$x=a$上において点$(a,\ 0,\ 0)$と曲線$G$上の点の距離の最大値を$r(a)$とする．このとき下記の設問に答えよ．
(1) $0 \leqq a \leqq \sqrt{2}$に対して$r(a)$を求めよ．
(2) 次の積分値を求めよ． \[ \pi \int_1^{\sqrt{2}}(r(x))^2 \,dx \]
(1) $0 \leqq a \leqq \sqrt{2}$に対して$r(a)$を求めよ．
(2) 次の積分値を求めよ． \[ \pi \int_1^{\sqrt{2}}(r(x))^2 \,dx \]
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