埼玉大学
2013年 理学部 第3問
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関数$f(x)=xe^{-x}$について，実数$a,\ b$は次の条件を満たすものとする．
$(\mathrm{A})$ \ \ $\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=f(a) \quad (0<a<1),$
$(\mathrm{B})$ \ \ $f(1)-f(0)=f^\prime(b) \quad (0<b<1)$
また，点$(0,\ 0)$，$(a,\ e^a)$を通る直線を$\ell_1$とし，点$(1,\ 0)$，$(b,\ e^b)$を通る直線を$\ell_2$とする．
(1) $(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$を利用して，$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を$a,\ b$を用いずに表せ．
(2) $\ell_1$と$\ell_2$の交点を求めよ．さらに，曲線$y=e^x$上の点$(1,\ e)$における接線と直線$\ell_2$の交点を求めよ．
(3) 次の不等式が成り立つことを示せ． \[ a<\frac{e-2}{e-1}<b<\frac{1}{2} \] ただし，必要ならば$e=2.718 \cdots,\ \log(e-1)=0.541 \cdots$を用いてよい．
$(\mathrm{A})$ \ \ $\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=f(a) \quad (0<a<1),$
$(\mathrm{B})$ \ \ $f(1)-f(0)=f^\prime(b) \quad (0<b<1)$
また，点$(0,\ 0)$，$(a,\ e^a)$を通る直線を$\ell_1$とし，点$(1,\ 0)$，$(b,\ e^b)$を通る直線を$\ell_2$とする．
(1) $(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$を利用して，$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を$a,\ b$を用いずに表せ．
(2) $\ell_1$と$\ell_2$の交点を求めよ．さらに，曲線$y=e^x$上の点$(1,\ e)$における接線と直線$\ell_2$の交点を求めよ．
(3) 次の不等式が成り立つことを示せ． \[ a<\frac{e-2}{e-1}<b<\frac{1}{2} \] ただし，必要ならば$e=2.718 \cdots,\ \log(e-1)=0.541 \cdots$を用いてよい．
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