$p$を実数の定数として，実数$x$の関数を$\displaystyle f(x)={25}^x+\frac{1}{{25}^x}+2p \left( 5^x+\frac{1}{5^x}-1 \right)+7$とする．$\displaystyle t=5^x+\frac{1}{5^x}$とおき，$f(x)$を$t$で表した関数を$g(t)$とおく．
(1) 関数$g(t)$を求めよ．
(2) 方程式$g(t)=0$が実数解を$1$個もつとき，$p$の値と解$t$の値を求めよ．
(3) 方程式$g(t)=0$が次の条件をみたす$2$個の実数解$t_1,\ t_2$をもつとき，$p$がとりうる値の範囲をそれぞれ求めよ． \[ \tokeiichi \ \ t_1<2,\ t_2>2 \quad \tokeini \ \ t_1=2,\ t_2>2 \quad \tokeisan \ \ 2<t_1<t_2 \quad \tokeishi \ \ t_1<t_2<2 \]
(4) $t$を定数とみなし$\displaystyle t=5^x+\frac{1}{5^x}$を$x$の方程式とみなして，方程式$\displaystyle t=5^x+\frac{1}{5^x}$が異なる$2$つの実数解$x$をもつように$t$の値を定めるとき，$t$がとりうる値の範囲を求めよ．
(5) 方程式$f(x)=0$の異なる実数解$x$の個数を，$p$の値で場合分けして求めよ．