$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A},\ \angle \mathrm{B},\ \angle \mathrm{C}$の大きさと対辺の長さをそれぞれ$A,\ B,\ C$および$a,\ b,\ c$で表す．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$とし，$3$頂点を通る円の半径を$R$とする．$a \geqq b \geqq c$とするとき以下の各問に答えよ．
(1) $\sin A \geqq \sin B \geqq \sin C$を示せ．
(2) $S=2R^2 \sin A \sin B \sin C$を示せ．
(3) $\displaystyle \frac{a^2}{S},\ \frac{b^2}{S},\ \frac{c^2}{S}$のそれぞれを$\displaystyle \frac{\cos A}{\sin A},\ \frac{\cos B}{\sin B},\ \frac{\cos C}{\sin C}$を用いて表せ．
(4) $\displaystyle \frac{\cos A}{\sin A} \leqq \frac{\cos B}{\sin B} \leqq \frac{\cos C}{\sin C}$を示せ．
(5) $A \geqq B \geqq C$を示せ． $\displaystyle \frac{a^2}{S} \geqq \frac{4}{\sqrt{3}}$を示せ． $\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形であるためには$\displaystyle \frac{a^2}{S} = \frac{4}{\sqrt{3}}$であることが必要十分であることを示せ．