弘前大学
2010年 理系 第4問
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![数列{a_n},{b_n}が次の条件を満たすとする.\begin{eqnarray}&&a_1=1,a_2=2,a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n(n=1,2,3,・・・)\nonumber\\&&b_1=2,b_2=6,b_{n+2}=2b_{n+1}+b_n(n=1,2,3,・・・)\nonumber\end{eqnarray}さらに行列AをA=\biggl(\begin{array}{cc}6&2\\2&2\end{array}\biggr)とする.このとき次が成り立つことを証明せよ.(1)nが2以上の偶数のとき,A^n=8^{n/2}\biggl(\begin{array}{cc}a_{n+1}&a_n\\a_n&a_{n-1}\end{array}\biggr)(2)nが3以上の奇数のとき,A^n=8^{\frac{n-1}{2}}\biggl(\begin{array}{cc}b_{n+1}&b_n\\b_n&b_{n-1}\end{array}\biggr)](./thumb/37/2045/2010_4.png)
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数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が次の条件を満たすとする.
\begin{eqnarray}
& & a_1=1,\ \ a_2=2,\ \ a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \nonumber \\
& & b_1=2,\ \ b_2=6,\ \ b_{n+2}=2b_{n+1}+b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \nonumber
\end{eqnarray}
さらに行列$A$を$A=\biggl( \begin{array}{cc}
6 & 2 \\
2 & 2
\end{array} \biggr)$とする.このとき次が成り立つことを証明せよ.
(1) $n$が2以上の偶数のとき,$\displaystyle A^n=8^{\frac{n}{2}} \biggl( \begin{array}{cc} a_{n+1} & a_n \\ a_n & a_{n-1} \end{array} \biggr)$
(2) $n$が3以上の奇数のとき,$\displaystyle A^n=8^{\frac{n-1}{2}} \biggl( \begin{array}{cc} b_{n+1} & b_n \\ b_n & b_{n-1} \end{array} \biggr)$
(1) $n$が2以上の偶数のとき,$\displaystyle A^n=8^{\frac{n}{2}} \biggl( \begin{array}{cc} a_{n+1} & a_n \\ a_n & a_{n-1} \end{array} \biggr)$
(2) $n$が3以上の奇数のとき,$\displaystyle A^n=8^{\frac{n-1}{2}} \biggl( \begin{array}{cc} b_{n+1} & b_n \\ b_n & b_{n-1} \end{array} \biggr)$
類題(関連度順)
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