座標平面上で，直線$\ell:y=mx$に関する対称移動によって，点P$(x,\ y)$が点Q$(x^\prime,\ y^\prime)$に移ったとする．ただし，$m$は0でない定数とし，点Pは$\ell$上にないとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) 線分PQの中点が$\ell$上にあることと，線分PQが$\ell$と垂直に交わっていることを利用して \[ \left( \begin{array}{c} x^\prime \\ y^\prime \end{array} \right)=\frac{1}{1+m^2} \left( \begin{array}{cc} 1-m^2 & 2m \\ 2m & m^2-1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \] が成り立つことを示せ．
(2) 直線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x,\ y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x$に関する対称移動を表す1次変換をそれぞれ$f,\ g$とする．このとき，合成変換$g \circ f$および$f \circ g$を表す行列を求めよ．
(3) (2)で求めた2つの行列は，原点Oを中心とし，角$\theta$だけ回転する1次変換を表す行列である．それぞれの$\theta$を求めよ．