佐賀大学
2011年 理工学部 第2問
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多項式$f(x)=x^4-x^3+cx^2-11x+d$について，$f(1+\sqrt{2})=0$が成り立つとする．ここで，$c,\ d$は有理数とする．次の問いに答えよ．
(1) $S=\{a+\sqrt{2}b \;|\; a,\ b \text{は有理数} \}$とする．集合$S$の元$z=a+\sqrt{2}b \ $(ただし，$a,\ b$は有理数)に対して，$j(z)=a-\sqrt{2}b$と定義する．$S$の任意の元$z,\ w$に対して，$j(z+w)=j(z)+j(w)$および$j(zw)=j(z)j(w)$が成り立つことを示せ．
(2) (1)を用いて，$S$の元$z$が$f(z)=0$を満たせば，$f(j(z))=0$が成り立つことを示せ．このことを用いて，$f(1-\sqrt{2})=0$を示せ．
(3) 有理数$c,\ d$を求め，$f(x)$を有理数の範囲で因数分解せよ．
(1) $S=\{a+\sqrt{2}b \;|\; a,\ b \text{は有理数} \}$とする．集合$S$の元$z=a+\sqrt{2}b \ $(ただし，$a,\ b$は有理数)に対して，$j(z)=a-\sqrt{2}b$と定義する．$S$の任意の元$z,\ w$に対して，$j(z+w)=j(z)+j(w)$および$j(zw)=j(z)j(w)$が成り立つことを示せ．
(2) (1)を用いて，$S$の元$z$が$f(z)=0$を満たせば，$f(j(z))=0$が成り立つことを示せ．このことを用いて，$f(1-\sqrt{2})=0$を示せ．
(3) 有理数$c,\ d$を求め，$f(x)$を有理数の範囲で因数分解せよ．
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