佐賀大学
2015年 医学部 第4問
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$p$を素数とするとき，次の問に答えよ．
(1) $2$つの自然数$m,\ n$の最大公約数は$1$であるとし，$\displaystyle x=\frac{n}{m}$とおく．$p^x$が有理数であるならば，$m=1$であることを示せ．
(2) 方程式 \[ p^x=-x^2+9x-5 \] が有理数の解$x$をもつような組$(p,\ x)$をすべて求めよ．
(1) $2$つの自然数$m,\ n$の最大公約数は$1$であるとし，$\displaystyle x=\frac{n}{m}$とおく．$p^x$が有理数であるならば，$m=1$であることを示せ．
(2) 方程式 \[ p^x=-x^2+9x-5 \] が有理数の解$x$をもつような組$(p,\ x)$をすべて求めよ．
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