佐賀大学
2014年 医学部 第3問
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行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & c
\end{array} \right)$に対して，ベクトル$\overrightarrow{u}=(p,\ q)$，$\overrightarrow{v}=(r,\ s)$は
\[ |\overrightarrow{u}|=|\overrightarrow{v}|=1,\quad A \left( \begin{array}{c}
p \\
q
\end{array} \right)=\alpha \left( \begin{array}{c}
p \\
q
\end{array} \right),\quad A \left( \begin{array}{c}
r \\
s
\end{array} \right)=\beta \left( \begin{array}{c}
r \\
s
\end{array} \right) \]
を満たすとする．ただし，$\alpha,\ \beta$は相異なる実数である．このとき，次の問に答えよ．
(1) ベクトル$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$は直交することを示せ．
(2) 行列$X=\left( \begin{array}{cc} p & r \\ q & s \end{array} \right)$は逆行列をもつことを示せ．
(3) $(2)$の$X$に対して，$AX=X \left( \begin{array}{cc} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{array} \right)$となることを示せ．
(4) 自然数$n$に対して，$A^n=\left( \begin{array}{cc} f_n & g_n \\ h_n & k_n \end{array} \right)$とする．このとき，$f_n+k_n$を$\alpha,\ \beta,\ n$を用いて表せ．
(1) ベクトル$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$は直交することを示せ．
(2) 行列$X=\left( \begin{array}{cc} p & r \\ q & s \end{array} \right)$は逆行列をもつことを示せ．
(3) $(2)$の$X$に対して，$AX=X \left( \begin{array}{cc} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{array} \right)$となることを示せ．
(4) 自然数$n$に対して，$A^n=\left( \begin{array}{cc} f_n & g_n \\ h_n & k_n \end{array} \right)$とする．このとき，$f_n+k_n$を$\alpha,\ \beta,\ n$を用いて表せ．
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