広島大学
2014年 理系 第1問
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![a,bを実数,a>0として,行列A=(\begin{array}{cc}a&2\-2&b\end{array})の定める1次変換をfとする.fによって,点P(1,0)が点P_1に移され,点P_1が点P_2に移されるものとする.Pが線分P_1P_2の中点であるとき,次の問いに答えよ.(1)a,bを求めよ.(2)ある実数cに対してcベクトルOP+ベクトルOP_1=(v_1,v_2)とすると,A(\begin{array}{c}v_1\v_2\end{array})=(\begin{array}{c}v_1\v_2\end{array})が成り立つ.cを求めよ.(3)ベクトルPP_1=(w_1,w_2)とする.すべての自然数nに対してA^n(\begin{array}{c}w_1\w_2\end{array})=(-2)^n(\begin{array}{c}w_1\w_2\end{array})が成り立つことを,数学的帰納法によって証明せよ.(4)(2)と(3)のv_1,v_2,w_1,w_2に対して,ベクトルOP=s(v_1,v_2)+t(w_1,w_2)となる実数s,tを求め,A^n(\begin{array}{c}1\0\end{array})をnを用いて表せ.ただし,nは自然数である.](./thumb/629/1921/2014_1.png)
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$a,\ b$を実数,$a>0$として,行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & 2 \\
-2 & b
\end{array} \right)$の定める$1$次変換を$f$とする.$f$によって,点$\mathrm{P}(1,\ 0)$が点$\mathrm{P}_1$に移され,点$\mathrm{P}_1$が点$\mathrm{P}_2$に移されるものとする.$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の中点であるとき,次の問いに答えよ.
(1) $a,\ b$を求めよ.
(2) ある実数$c$に対して$c \overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1=(v_1,\ v_2)$とすると, \[ A \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) \] が成り立つ.$c$を求めよ.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{PP}}_1=(w_1,\ w_2)$とする.すべての自然数$n$に対して \[ A^n \left( \begin{array}{c} w_1 \\ w_2 \end{array} \right)=(-2)^n \left( \begin{array}{c} w_1 \\ w_2 \end{array} \right) \] が成り立つことを,数学的帰納法によって証明せよ.
(4) $(2)$と$(3)$の$v_1,\ v_2,\ w_1,\ w_2$に対して,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s(v_1,\ v_2)+t(w_1,\ w_2)$となる実数$s,\ t$を求め,$A^n \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)$を$n$を用いて表せ.ただし,$n$は自然数である.
(1) $a,\ b$を求めよ.
(2) ある実数$c$に対して$c \overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1=(v_1,\ v_2)$とすると, \[ A \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) \] が成り立つ.$c$を求めよ.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{PP}}_1=(w_1,\ w_2)$とする.すべての自然数$n$に対して \[ A^n \left( \begin{array}{c} w_1 \\ w_2 \end{array} \right)=(-2)^n \left( \begin{array}{c} w_1 \\ w_2 \end{array} \right) \] が成り立つことを,数学的帰納法によって証明せよ.
(4) $(2)$と$(3)$の$v_1,\ v_2,\ w_1,\ w_2$に対して,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s(v_1,\ v_2)+t(w_1,\ w_2)$となる実数$s,\ t$を求め,$A^n \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)$を$n$を用いて表せ.ただし,$n$は自然数である.
過去問レビュー
広島大学 理系 数学 2014年問題1類題(関連度順)
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