鹿児島大学
2013年 医(医)・理(数理・物理・地環)・工・歯 第5問
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![2次の正方行列A=(\begin{array}{cc}a&b\c&d\end{array})に対して,\Delta(A)=ad-bcとおく.たとえば単位行列E=(\begin{array}{cc}1&0\0&1\end{array})に対しては\Delta(E)=1×1-0×0=1となる.またK=(\begin{array}{cc}2&3\5&7\end{array})に対しては\Delta(K)=2×7-3×5=-1となる.次の各問いに答えよ.(1)P=(\begin{array}{cc}0&1\2&3\end{array}),Q=(\begin{array}{cc}1&2\3&4\end{array})に対してR=PQとおく.\Delta(P),\Delta(Q),\Delta(R)を計算し,\Delta(R)=\Delta(P)\Delta(Q)が成り立つことを確かめよ.(2)すべての2次の正方行列A,Bに対して,C=ABとおくと\Delta(C)=\Delta(A)\Delta(B)が成り立つことを示せ.(3)X^2=(\begin{array}{cc}0&1\1&0\end{array})となる2次の正方行列Xですべての成分が実数であるようなものは存在しないことを示せ.(4)2次の正方行列Aに逆行列Bが存在したとする.AとBの成分がすべて整数ならば,\Delta(A)は1か-1のどちらかである.このことを示せ.](./thumb/742/3068/2013_5.png)
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$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して,$\Delta (A)=ad-bc$とおく.たとえば単位行列$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$に対しては$\Delta (E)=1 \times 1-0 \times 0=1$となる.また$K=\left( \begin{array}{cc}
2 & 3 \\
5 & 7
\end{array} \right)$に対しては$\Delta (K)=2 \times 7-3 \times 5=-1$となる.次の各問いに答えよ.
(1) $P=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 2 & 3 \end{array} \right),\ Q=\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right)$に対して$R=PQ$とおく.$\Delta (P),\ \Delta (Q),\ \Delta (R)$を計算し,$\Delta (R)=\Delta (P) \Delta (Q)$が成り立つことを確かめよ.
(2) すべての$2$次の正方行列$A,\ B$に対して,$C=AB$とおくと$\Delta (C)=\Delta (A) \Delta (B)$が成り立つことを示せ.
(3) $X^2=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)$となる$2$次の正方行列$X$ですべての成分が実数であるようなものは存在しないことを示せ.
(4) $2$次の正方行列$A$に逆行列$B$が存在したとする.$A$と$B$の成分がすべて整数ならば,$\Delta (A)$は$1$か$-1$のどちらかである.このことを示せ.
(1) $P=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 2 & 3 \end{array} \right),\ Q=\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right)$に対して$R=PQ$とおく.$\Delta (P),\ \Delta (Q),\ \Delta (R)$を計算し,$\Delta (R)=\Delta (P) \Delta (Q)$が成り立つことを確かめよ.
(2) すべての$2$次の正方行列$A,\ B$に対して,$C=AB$とおくと$\Delta (C)=\Delta (A) \Delta (B)$が成り立つことを示せ.
(3) $X^2=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)$となる$2$次の正方行列$X$ですべての成分が実数であるようなものは存在しないことを示せ.
(4) $2$次の正方行列$A$に逆行列$B$が存在したとする.$A$と$B$の成分がすべて整数ならば,$\Delta (A)$は$1$か$-1$のどちらかである.このことを示せ.
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