$2$次曲線$C$が媒介変数$\theta$を用いて， \[ x=3+5 \cos \theta,\quad y=2+3 \sin \theta \quad (0 \leqq \theta \leqq 2\pi) \] と表されている．このとき，次の問いに答えよ．
(1) 曲線$C$の方程式を$x,\ y$を用いて表せ．また，$C$を座標平面上に図示せよ．
(2) 曲線$C$上の点$\mathrm{P}(3+5 \cos \theta,\ 2+3 \sin \theta)$における$C$の接線$\ell$の方程式は， \[ \frac{\cos \theta}{5}(x-3)+\frac{\sin \theta}{3}(y-2)=1 \] となることを示せ．
(3) 曲線$C$の焦点を$\mathrm{F}_1$，$\mathrm{F}_2$とする．$i=1,\ 2$に対し，$\mathrm{F}_i$を通り，接線$\ell$に垂直な直線$m_i$の方程式を求めよ．
(4) $i=1,\ 2$に対し，直線$m_i$と$\ell$との交点を$\mathrm{Q}_i$とする．点$\mathrm{O}^\prime(3,\ 2)$とするとき，線分$\mathrm{O}^\prime \mathrm{Q}_i$の長さを求めよ．
(5) $\mathrm{P}$が曲線$C$を一周するとき，線分$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$の長さの最大値，最小値，およびそのときの点$\mathrm{P}$をそれぞれ求めよ．