滋賀医科大学
2013年 医学部 第3問
3
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実数$a$に対し,行列$X(a)$を
\[ X(a)=\frac{1}{a^2+1} \left( \begin{array}{cc}
2a^2+1 & -a \\
-a & a^2+2
\end{array} \right) \]
と定める.
(1) ベクトル$\left( \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right)$を考える.ベクトル$\left( \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right)$,$X(a) \left( \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right)$の大きさをそれぞれ$l_0,\ l_1$とおく.このとき \[ l_0 \leqq l_1 \] を示せ.ただしベクトル$\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$の大きさとは$\sqrt{x^2+y^2}$のことである.
(2) (1)で$l_0=l_1$となるとき,$X(a) \left( \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right)$を示せ.
(3) $a,\ b$が異なる実数のとき,${X(a)}^m={X(b)}^n$となるような正の整数$m,\ n$は存在しないことを示せ.
(1) ベクトル$\left( \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right)$を考える.ベクトル$\left( \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right)$,$X(a) \left( \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right)$の大きさをそれぞれ$l_0,\ l_1$とおく.このとき \[ l_0 \leqq l_1 \] を示せ.ただしベクトル$\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$の大きさとは$\sqrt{x^2+y^2}$のことである.
(2) (1)で$l_0=l_1$となるとき,$X(a) \left( \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right)$を示せ.
(3) $a,\ b$が異なる実数のとき,${X(a)}^m={X(b)}^n$となるような正の整数$m,\ n$は存在しないことを示せ.
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