区間$0 \leqq x \leqq \pi$で連続な関数$f(x)$に対して，定積分 \[ I=\int_0^\pi \{t \sin x-f(x) \}^2 \, dx \quad (t \text{は実数}) \] を考える．定数$c_1,\ c_2,\ c_3$を \[ c_1=\int_0^\pi \sin^2 x \, dx,\quad c_2=\int_0^\pi f(x) \sin x \, dx,\quad c_3=\int_0^\pi \{f(x)\}^2 \, dx \] と定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1) $I$を，$t$および$c_1,\ c_2,\ c_3$を用いて表せ．
(2) $c_1$の値を求めよ． \\ 以下では，$I$を最小にする$t$の値を$t_0$とし，その最小値を$I_0$とする．
(3) $t_0$を$c_2$を用いて表せ．また，$I_0$を$c_2,\ c_3$を用いて表せ．
(4) 次の定積分$A,\ B$の値を求めよ． \[ A=\int_0^\pi x \sin x \, dx,\quad B=\int_0^\pi x \cos x \, dx \]
(5) $f(x)=x(\pi-x)$のとき，$c_2,\ c_3$および$I_0$の値をそれぞれ求めよ．