複素数平面上の点$z$に対して \[ w=\frac{3(1-i)z-2i}{z+3(1-i)} \] で表される点$w$をとる．このとき，次の問に答えよ．
(1) $w=z$となるような点$z$は$2$つある．これらを求めよ．
(2) $(1)$で求めた異なる$2$点を$\alpha,\ \beta$とする．ただし，$0 \leqq \arg{\alpha}<\arg{\beta}<2\pi$とする．$z$が$\alpha,\ \beta$と異なる点であるとき， \[ \frac{w-\beta}{w-\alpha}=k \cdot \frac{z-\beta}{z-\alpha} \] となるような定数$k$の値を求めよ．
(3) 複素数$z_n$を \[ z_1=0,\quad z_{n+1}=\frac{3(1-i)z_n-2i}{z_n+3(1-i)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] で定める．また，$z_n$の実部と虚部をそれぞれ$x_n,\ y_n$とする．このとき，数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．さらに，数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$の極限を求めよ．