京都府立大学
2014年 生命環境(生命分子化学) 第1問
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$0<t<1$とする.$\triangle \mathrm{OAB}$において,$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする.$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AB}}$となる点を$\mathrm{C}$とし,$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=t \overrightarrow{b}$となる点を$\mathrm{D}$,$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=(1-t) \overrightarrow{a}$となる点を$\mathrm{E}$,$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{AB}}$となる点を$\mathrm{F}$とする.線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{G}$とする.以下の問いに答えよ.
(1) $3|\overrightarrow{a}|^2+6|\overrightarrow{b}|^2-9|\overrightarrow{c}|^2=2|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2$となることを示せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$および$t$を用いて表せ.
(3) $\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_1$,$\triangle \mathrm{DEF}$の面積を$S_2$とする.$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$t$を用いて多項式で表し,$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ.
(1) $3|\overrightarrow{a}|^2+6|\overrightarrow{b}|^2-9|\overrightarrow{c}|^2=2|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2$となることを示せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$および$t$を用いて表せ.
(3) $\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_1$,$\triangle \mathrm{DEF}$の面積を$S_2$とする.$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$t$を用いて多項式で表し,$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ.
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