首都大学東京
2010年 都市教養(文系) 第2問
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![原点をOとする座標平面上のベクトルベクトルOAとベクトルOBは|ベクトルOA|=\sqrt{17},|ベクトルOB|=\sqrt{10}を満たし,ベクトルOAとベクトルOBのなす角θがcosθ=-\frac{13}{\sqrt{170}}を満たしている.ベクトルベクトルu,ベクトルvをベクトルu=\frac{ベクトルOA+ベクトルOB}{2},ベクトルv=\frac{ベクトルOA-ベクトルOB}{2}で定める.このとき,以下の問いに答えなさい.(1)長さ|ベクトルu|,|ベクトルv|と内積ベクトルu・ベクトルvを求めなさい.(2)実数tに対してベクトルOP=tベクトルu+(1-t)ベクトルvとおく.長さ|ベクトルOP|を最小にするtの値を求めなさい.また,そのときの長さ|ベクトルOP|を求めなさい.](./thumb/188/1477/2010_2.png)
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原点をOとする座標平面上のベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$は$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=\sqrt{17},\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{10}$を満たし,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角$\theta$が$\displaystyle \cos \theta =- \frac{13}{\sqrt{170}}$を満たしている.ベクトル$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$を$\displaystyle \overrightarrow{u} = \frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{2},\ \overrightarrow{v}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{2}$で定める.このとき,以下の問いに答えなさい.
(1) 長さ$|\overrightarrow{u}|,\ |\overrightarrow{v}|$と内積$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$を求めなさい.
(2) 実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = t \overrightarrow{u}+(1-t)\overrightarrow{v}$とおく.長さ$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$を最小にする$t$の値を求めなさい.また,そのときの長さ$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$を求めなさい.
(1) 長さ$|\overrightarrow{u}|,\ |\overrightarrow{v}|$と内積$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$を求めなさい.
(2) 実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = t \overrightarrow{u}+(1-t)\overrightarrow{v}$とおく.長さ$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$を最小にする$t$の値を求めなさい.また,そのときの長さ$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$を求めなさい.
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