慶應義塾大学
2014年 薬学部 第1問
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次の問いに答えよ.
(1) 実数$x$の関数$f(x)=x^3-ax^2+bx+4b-2$は,$\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{f(x)}{x-2}=-5$を満たす.ただし,$a,\ b$は実数とする.このとき,
(ⅰ) $b$を$a$の式で表すと,$b=\fbox{$1$}a-\fbox{$2$}$である.
(ⅱ) $x$の値が$3$から$6$まで変化するときの関数$f(x)$の平均変化率が,関数$f(x)$の$x=2+\sqrt{7}$における微分係数に等しいとき,$a=\fbox{$3$}$,$b=\fbox{$4$}$である.
(2) 実数$a$についての方程式 \[ A=|2a+\displaystyle\frac{4|{3}k}+|a-\displaystyle\frac{8|{9}k} \] において,$\displaystyle a=\frac{1}{4}$のとき$\displaystyle A=\frac{21}{4}$である.ただし,$k$は正の実数の定数とする.このとき,
(ⅰ) $\displaystyle k=\frac{\fbox{$5$}}{\fbox{$6$}}$である.
(ⅱ) $A$の最小値は$\displaystyle \frac{\fbox{$7$}}{\fbox{$8$}}$であり,このときの$a$の値は$\displaystyle \frac{\fbox{$9$}\fbox{$10$}}{\fbox{$11$}}$である.
(3) $n$を自然数とする.数列$\{a_n\}$は,$a_1=5$,$\displaystyle a_{n+1}=\frac{25}{{a_n}^2}$を満たす.このとき,
(ⅰ) $a_3=\fbox{$12$}\fbox{$13$}$,$\displaystyle a_4=\frac{\fbox{$14$}}{\fbox{$15$}\fbox{$16$}}$である.
(ⅱ) $b_n=\log_5 a_n$とおくとき,数列$\{b_n\}$の一般項を$n$の式で表すと, \[ b_n=\frac{\left( \fbox{$17$}\fbox{$18$} \right)^{n-1}}{\fbox{$19$}}+\frac{\fbox{$20$}}{\fbox{$21$}} \] である.
(4) 円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において,$\angle \mathrm{BCD}=60^\circ$,$\mathrm{CD}=2 \sqrt{6}$,$\angle \mathrm{DAB}>\angle \mathrm{CDA}$である.また$2$直線$\mathrm{BA}$,$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{E}$,$2$直線$\mathrm{DA}$,$\mathrm{CB}$の交点を$\mathrm{F}$とすると,$\angle \mathrm{AFB}=45^\circ$,$\mathrm{DE}=3 \sqrt{2}-\sqrt{6}$である.このとき,
(ⅰ) $\angle \mathrm{AED}$の大きさは${\fbox{$22$}\fbox{$23$}}^\circ$であり,辺$\mathrm{EB}$の長さは$\fbox{$24$}$である.
(ⅱ) 三角形$\mathrm{AED}$の面積は,三角形$\mathrm{CEB}$の面積の$\displaystyle \frac{\fbox{$25$}-\sqrt{\fbox{$26$}}}{\fbox{$27$}}$倍である.
(5) $xy$平面上に放物線$C:2x^2+(k-5)x-(k+1)y+6k-14=0$と直線$\displaystyle \ell:y=\frac{1}{2}x$がある.$k$は$k \neq -1$を満たす実数とする.放物線$C$は$-1$を除くすべての実数$k$に対して$2$定点$\mathrm{A}(x_\mathrm{A},\ y_\mathrm{A})$,$\mathrm{B}(x_\mathrm{B},\ y_\mathrm{B})$を通る.ただし,$x_\mathrm{A}<x_\mathrm{B}$とする.このとき,
(ⅰ) $2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の座標は \[ (x_\mathrm{A},\ y_\mathrm{A})=\left( \fbox{$28$}\fbox{$29$},\ \fbox{$30$} \right),\quad (x_\mathrm{B},\ y_\mathrm{B})=\left( \fbox{$31$},\ \fbox{$32$}\fbox{$33$} \right) \] である.
(ⅱ) 直線$\ell$上に点$\mathrm{P}$をおき,$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$をそれぞれ点$\mathrm{P}$と線分で結ぶとき,距離の和$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$を最小にする点$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{\fbox{$34$}\fbox{$35$}}{\fbox{$36$}},\ \frac{\fbox{$37$}\fbox{$38$}}{\fbox{$39$}} \right)$である.
(1) 実数$x$の関数$f(x)=x^3-ax^2+bx+4b-2$は,$\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{f(x)}{x-2}=-5$を満たす.ただし,$a,\ b$は実数とする.このとき,
(ⅰ) $b$を$a$の式で表すと,$b=\fbox{$1$}a-\fbox{$2$}$である.
(ⅱ) $x$の値が$3$から$6$まで変化するときの関数$f(x)$の平均変化率が,関数$f(x)$の$x=2+\sqrt{7}$における微分係数に等しいとき,$a=\fbox{$3$}$,$b=\fbox{$4$}$である.
(2) 実数$a$についての方程式 \[ A=|2a+\displaystyle\frac{4|{3}k}+|a-\displaystyle\frac{8|{9}k} \] において,$\displaystyle a=\frac{1}{4}$のとき$\displaystyle A=\frac{21}{4}$である.ただし,$k$は正の実数の定数とする.このとき,
(ⅰ) $\displaystyle k=\frac{\fbox{$5$}}{\fbox{$6$}}$である.
(ⅱ) $A$の最小値は$\displaystyle \frac{\fbox{$7$}}{\fbox{$8$}}$であり,このときの$a$の値は$\displaystyle \frac{\fbox{$9$}\fbox{$10$}}{\fbox{$11$}}$である.
(3) $n$を自然数とする.数列$\{a_n\}$は,$a_1=5$,$\displaystyle a_{n+1}=\frac{25}{{a_n}^2}$を満たす.このとき,
(ⅰ) $a_3=\fbox{$12$}\fbox{$13$}$,$\displaystyle a_4=\frac{\fbox{$14$}}{\fbox{$15$}\fbox{$16$}}$である.
(ⅱ) $b_n=\log_5 a_n$とおくとき,数列$\{b_n\}$の一般項を$n$の式で表すと, \[ b_n=\frac{\left( \fbox{$17$}\fbox{$18$} \right)^{n-1}}{\fbox{$19$}}+\frac{\fbox{$20$}}{\fbox{$21$}} \] である.
(4) 円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において,$\angle \mathrm{BCD}=60^\circ$,$\mathrm{CD}=2 \sqrt{6}$,$\angle \mathrm{DAB}>\angle \mathrm{CDA}$である.また$2$直線$\mathrm{BA}$,$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{E}$,$2$直線$\mathrm{DA}$,$\mathrm{CB}$の交点を$\mathrm{F}$とすると,$\angle \mathrm{AFB}=45^\circ$,$\mathrm{DE}=3 \sqrt{2}-\sqrt{6}$である.このとき,
(ⅰ) $\angle \mathrm{AED}$の大きさは${\fbox{$22$}\fbox{$23$}}^\circ$であり,辺$\mathrm{EB}$の長さは$\fbox{$24$}$である.
(ⅱ) 三角形$\mathrm{AED}$の面積は,三角形$\mathrm{CEB}$の面積の$\displaystyle \frac{\fbox{$25$}-\sqrt{\fbox{$26$}}}{\fbox{$27$}}$倍である.
(5) $xy$平面上に放物線$C:2x^2+(k-5)x-(k+1)y+6k-14=0$と直線$\displaystyle \ell:y=\frac{1}{2}x$がある.$k$は$k \neq -1$を満たす実数とする.放物線$C$は$-1$を除くすべての実数$k$に対して$2$定点$\mathrm{A}(x_\mathrm{A},\ y_\mathrm{A})$,$\mathrm{B}(x_\mathrm{B},\ y_\mathrm{B})$を通る.ただし,$x_\mathrm{A}<x_\mathrm{B}$とする.このとき,
(ⅰ) $2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の座標は \[ (x_\mathrm{A},\ y_\mathrm{A})=\left( \fbox{$28$}\fbox{$29$},\ \fbox{$30$} \right),\quad (x_\mathrm{B},\ y_\mathrm{B})=\left( \fbox{$31$},\ \fbox{$32$}\fbox{$33$} \right) \] である.
(ⅱ) 直線$\ell$上に点$\mathrm{P}$をおき,$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$をそれぞれ点$\mathrm{P}$と線分で結ぶとき,距離の和$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$を最小にする点$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{\fbox{$34$}\fbox{$35$}}{\fbox{$36$}},\ \frac{\fbox{$37$}\fbox{$38$}}{\fbox{$39$}} \right)$である.
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