早稲田大学
2012年 教育 第4問
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円$C$とその内部の点$\mathrm{P}_0$が与えられている.初め$\mathrm{P}_0$にある動点が,円周上の点$\mathrm{P}_1$まで線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$上を動き,$\mathrm{P}_1$からは,$\mathrm{P}_1$における円$C$の接線$\ell_1$と線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$のなす角が$\ell_1$と線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$のなす角に等しくなるように向きを変えて,円周上の点$\mathrm{P}_2$まで線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$上を動く(図例$1$).以下,自然数$n$について,円周上の点$\mathrm{P}_n$に至ったあとは,$\mathrm{P}_n$における円$C$の接線$\ell_n$と線分$\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$のなす角が$\ell_n$と線分$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}$のなす角に等しくなるように向きを変え,円周上の点$\mathrm{P}_{n+1}$まで線分$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}$上を動き,この動きをくり返す(図例$2$).線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$と接線$\ell_1$のなす角を$\alpha \ \ (\displaystyle 0 \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{2})$とする.
(1) $\mathrm{P}_m=\mathrm{P}_1$となる$3$以上の自然数$m$が存在するような角$\alpha$をすべて決定せよ.
(2) 点$\mathrm{P}_1$の位置によって角$\alpha$は変化し得る.角$\alpha$が最大となる$\mathrm{P}_1$の位置,および最小となる$\mathrm{P}_1$の位置を求めよ.
(3) $\mathrm{P}_4=\mathrm{P}_1$となる点$\mathrm{P}_1$がとれるような点$\mathrm{P}_0$の存在範囲を求めよ. \imgc{304_7_2012_1}
(1) $\mathrm{P}_m=\mathrm{P}_1$となる$3$以上の自然数$m$が存在するような角$\alpha$をすべて決定せよ.
(2) 点$\mathrm{P}_1$の位置によって角$\alpha$は変化し得る.角$\alpha$が最大となる$\mathrm{P}_1$の位置,および最小となる$\mathrm{P}_1$の位置を求めよ.
(3) $\mathrm{P}_4=\mathrm{P}_1$となる点$\mathrm{P}_1$がとれるような点$\mathrm{P}_0$の存在範囲を求めよ. \imgc{304_7_2012_1}
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