県立広島大学
2016年 文系 第2問
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![四面体OABCにおいて,OA=2,OB=2,OC=4,∠AOB=π/2,∠AOC=π/3,∠BOC=π/3とする.また,線分OAを2:1に外分する点をP,線分OBを3:2に外分する点をQとする.線分CQ,線分CPの中点をそれぞれR,Sとし,直線PRと直線QSの交点をTとする.さらに,ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとする.次の問いに答えよ.(1)ベクトルOTをベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて表せ.(2)点Tから平面OABに下ろした垂線をTHとする.ベクトルHTをベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて表せ.(3)四面体OABTの体積を求めよ.](./thumb/631/2818/2016_2.png)
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四面体$\mathrm{OABC}$において,$\mathrm{OA}=2$,$\mathrm{OB}=2$,$\mathrm{OC}=4$,
\[ \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{2},\quad \angle \mathrm{AOC}=\frac{\pi}{3},\quad \angle \mathrm{BOC}=\frac{\pi}{3} \]
とする.また,線分$\mathrm{OA}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{P}$,線分$\mathrm{OB}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{Q}$とする.線分$\mathrm{CQ}$,線分$\mathrm{CP}$の中点をそれぞれ$\mathrm{R}$,$\mathrm{S}$とし,直線$\mathrm{PR}$と直線$\mathrm{QS}$の交点を$\mathrm{T}$とする.さらに,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする.次の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OT}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2) 点$\mathrm{T}$から平面$\mathrm{OAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{TH}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{HT}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3) 四面体$\mathrm{OABT}$の体積を求めよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OT}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2) 点$\mathrm{T}$から平面$\mathrm{OAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{TH}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{HT}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3) 四面体$\mathrm{OABT}$の体積を求めよ.
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