早稲田大学
2016年 国際教養学部 第1問
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次の問に答えよ.
(1) 直線$-2x+4y+5=0$を$\ell$とする.点$\mathrm{A}(2,\ 4)$を通り,直線$\ell$に垂直な直線を$m$とし,同じく点$\mathrm{A}$を通り,$x$軸に平行な直線を$n$とする.直線$\ell$と直線$m$の交点を$\mathrm{B}$とし,直線$\ell$と直線$n$の交点を$\mathrm{C}$とするとき,次の各問いに答えよ.
(ⅰ) 点$\mathrm{B}$の座標は$(\fbox{ア},\ \fbox{イ})$である.
(ⅱ) 線分$\mathrm{AB}$の長さは$\fbox{ウ}$である.
(ⅲ) 直線$\ell$上で線分$\mathrm{CB}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{D}$とし,直線$m$上で線分$\mathrm{AB}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{E}$とするとき,四角形$\mathrm{ACED}$の面積は$\fbox{エ}$である.
(2) 座標平面上に定点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$と$\mathrm{B}(1,\ 0)$が与えられているとし,動点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$は,それぞれ$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$とは一致しないところを動くものとするとき,次の各問いに答えよ.
(ⅰ) 点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$\angle \mathrm{APB}={90}^\circ$を満たすように動くとき,点$\mathrm{P}$の$y$座標の最大値は$\fbox{オ}$である.
(ⅱ) 点$\mathrm{Q}(x,\ y)$が$\angle \mathrm{AQB}={120}^\circ$を満たすように動くとき,点$\mathrm{Q}$の$y$座標の最大値は$\fbox{カ}$であり,また,点$\mathrm{Q}$が動いてできる曲線に$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を付け加えた曲線を$C$とすると,曲線$C$が囲む部分の面積は$\fbox{キ}$である.
(3) $a$を正の実数とし,$\displaystyle a \neq \frac{1}{2}$であるとする.曲線$C:y=x^2-2x$上の$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$を考える.点$\mathrm{P}$の座標を$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ -\frac{3}{4} \right)$とし,点$\mathrm{Q}$の座標を$(a+1,\ a^2-1)$とする.点$\mathrm{P}$を通り$\mathrm{P}$における$C$の接線に直交する直線を$\ell$とし,点$\mathrm{Q}$を通り$\mathrm{Q}$における$C$の接線に直交する直線を$m$とする.$2$直線$\ell$と$m$の交点が曲線$C$上にあるとき,次の各問いに答えよ.
(ⅰ) $a$の値は$\fbox{ク}$である.
(ⅱ) $2$直線$\ell$,$m$と曲線$C$とで囲まれた領域で$x \geqq 0$を満たす部分の面積は$\fbox{ケ}$である.
(1) 直線$-2x+4y+5=0$を$\ell$とする.点$\mathrm{A}(2,\ 4)$を通り,直線$\ell$に垂直な直線を$m$とし,同じく点$\mathrm{A}$を通り,$x$軸に平行な直線を$n$とする.直線$\ell$と直線$m$の交点を$\mathrm{B}$とし,直線$\ell$と直線$n$の交点を$\mathrm{C}$とするとき,次の各問いに答えよ.
(ⅰ) 点$\mathrm{B}$の座標は$(\fbox{ア},\ \fbox{イ})$である.
(ⅱ) 線分$\mathrm{AB}$の長さは$\fbox{ウ}$である.
(ⅲ) 直線$\ell$上で線分$\mathrm{CB}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{D}$とし,直線$m$上で線分$\mathrm{AB}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{E}$とするとき,四角形$\mathrm{ACED}$の面積は$\fbox{エ}$である.
(2) 座標平面上に定点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$と$\mathrm{B}(1,\ 0)$が与えられているとし,動点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$は,それぞれ$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$とは一致しないところを動くものとするとき,次の各問いに答えよ.
(ⅰ) 点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$\angle \mathrm{APB}={90}^\circ$を満たすように動くとき,点$\mathrm{P}$の$y$座標の最大値は$\fbox{オ}$である.
(ⅱ) 点$\mathrm{Q}(x,\ y)$が$\angle \mathrm{AQB}={120}^\circ$を満たすように動くとき,点$\mathrm{Q}$の$y$座標の最大値は$\fbox{カ}$であり,また,点$\mathrm{Q}$が動いてできる曲線に$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を付け加えた曲線を$C$とすると,曲線$C$が囲む部分の面積は$\fbox{キ}$である.
(3) $a$を正の実数とし,$\displaystyle a \neq \frac{1}{2}$であるとする.曲線$C:y=x^2-2x$上の$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$を考える.点$\mathrm{P}$の座標を$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ -\frac{3}{4} \right)$とし,点$\mathrm{Q}$の座標を$(a+1,\ a^2-1)$とする.点$\mathrm{P}$を通り$\mathrm{P}$における$C$の接線に直交する直線を$\ell$とし,点$\mathrm{Q}$を通り$\mathrm{Q}$における$C$の接線に直交する直線を$m$とする.$2$直線$\ell$と$m$の交点が曲線$C$上にあるとき,次の各問いに答えよ.
(ⅰ) $a$の値は$\fbox{ク}$である.
(ⅱ) $2$直線$\ell$,$m$と曲線$C$とで囲まれた領域で$x \geqq 0$を満たす部分の面積は$\fbox{ケ}$である.
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