早稲田大学
2012年 スポーツ科学学部 第4問
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$1$と$2$を用いて$n$桁の自然数を作る.このような$n$桁の自然数のうち,$3$の倍数となる数の個数を$a_n$,そうで
ない数の個数を$b_n$とする.
\[ a_1= \fbox{ク}, \quad b_1=\fbox{ケ} \]
である.また,
\[ a_n+b_n = \fbox{コ}^n \]
であり,さらに,実数$p,\ q,\ r,\ s$を用いて,
\[ a_{n+1} = pa_n + qb_n \]
\[ b_{n+1} = ra_n +sb_n \]
と表すことができる.
\[ p=\fbox{サ},\quad q=\fbox{シ} \]
である.ここで,$c_n=\displaystyle\frac{a_n}{2^n}$とおくと,
\[ c_{n+1} = \frac{\fbox{ス}}{2}c_n + \frac{\fbox{セ}}{2}, \quad c_1 = \fbox{ソ} \]
となる.よって,
\[ a_n = \frac{\fbox{タ}}{3}\left(\fbox{チ}\right)^n + \frac{\fbox{ツ}^n}{3} \]
である.
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