岩手大学
2013年 理工学部 第3問
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座標空間内で$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ 4,\ 0)$,$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$を考える.辺$\mathrm{AB}$上の点を$\mathrm{D}$,辺$\mathrm{AC}$上の点を$\mathrm{E}$,線分$\mathrm{DE}$上の点を$\mathrm{P}$とする.線分$\mathrm{DE}$は辺$\mathrm{BC}$に平行とする.$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{AB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{DP}}=\beta \overrightarrow{\mathrm{DE}}$とするとき,次の問いに答えよ.ただし,$\alpha,\ \beta$は実数とし,$0<\alpha<1$,$0<\beta<1$とする.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$,$\alpha$,$\beta$によって表し,次に$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を成分表示せよ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$に垂直となる$\mathrm{P}$の座標を$\alpha$を用いて表せ.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$の両方に垂直となる$\alpha$の値を求めよ.
(4) 点$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$に下ろした垂線の交点を$\mathrm{H}$とする.$\mathrm{H}$の座標を求めよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$,$\alpha$,$\beta$によって表し,次に$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を成分表示せよ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$に垂直となる$\mathrm{P}$の座標を$\alpha$を用いて表せ.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$の両方に垂直となる$\alpha$の値を求めよ.
(4) 点$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$に下ろした垂線の交点を$\mathrm{H}$とする.$\mathrm{H}$の座標を求めよ.
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