北里大学
2014年 理学部 第3問
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次の文中の$\fbox{ア}$~$\fbox{フ}$にあてはまる最も適切な数を答えなさい.
曲線$C$を$y=x^2-6x+13$とし,曲線$C$の接線で点$(p,\ 0)$を通るものを考える.接点の$x$座標を$\alpha$とすると,接線の傾きは$\fbox{ア} \alpha+\fbox{イ}$,接点の座標は$(\alpha,\ \fbox{ウ} \alpha^2+\fbox{エ} \alpha+\fbox{オ}\fbox{カ})$であるから,接線の方程式は, \[ y=(\fbox{ア} \alpha+\fbox{イ})x+\fbox{キ} \alpha^2+\fbox{ク} \alpha+\fbox{ケ}\fbox{コ} \] と表される.この直線が点$(p,\ 0)$を通ることから$\alpha$は次の$2$次方程式 \[ \alpha^2+\fbox{サ}p \alpha+\fbox{シ}p+\fbox{ス}\fbox{セ}=0 \] を満たす.この方程式は$2$つの解を持つから接線は$2$本存在し,傾きが正である接線の方程式は, \[ y=\fbox{ソ} \left( p+\fbox{タ}+\sqrt{p^2+\fbox{チ}p+\fbox{ツ}\fbox{テ}} \right) (x+\fbox{ト}p) \] と表される.
任意の$x$における曲線$C$の$y$座標と接線の$y$座標の差は,両者が$x=\alpha$で接しているので, \[ (x-\alpha)^2 \] と書ける.これを用いると,曲線$C$と$2$本の接線で囲まれた部分の面積$S$は, \[ S=\frac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}} \left( p^2+\fbox{チ}p+\fbox{ツ}\fbox{テ} \right)^{\frac{\fbox{ヌ}}{\fbox{ネ}}} \] である.$p$を変化させるとき,$S$は$p=\fbox{ノ}$で最小値$\displaystyle \frac{\fbox{ハ}\fbox{ヒ}}{\fbox{フ}}$をとる.
曲線$C$を$y=x^2-6x+13$とし,曲線$C$の接線で点$(p,\ 0)$を通るものを考える.接点の$x$座標を$\alpha$とすると,接線の傾きは$\fbox{ア} \alpha+\fbox{イ}$,接点の座標は$(\alpha,\ \fbox{ウ} \alpha^2+\fbox{エ} \alpha+\fbox{オ}\fbox{カ})$であるから,接線の方程式は, \[ y=(\fbox{ア} \alpha+\fbox{イ})x+\fbox{キ} \alpha^2+\fbox{ク} \alpha+\fbox{ケ}\fbox{コ} \] と表される.この直線が点$(p,\ 0)$を通ることから$\alpha$は次の$2$次方程式 \[ \alpha^2+\fbox{サ}p \alpha+\fbox{シ}p+\fbox{ス}\fbox{セ}=0 \] を満たす.この方程式は$2$つの解を持つから接線は$2$本存在し,傾きが正である接線の方程式は, \[ y=\fbox{ソ} \left( p+\fbox{タ}+\sqrt{p^2+\fbox{チ}p+\fbox{ツ}\fbox{テ}} \right) (x+\fbox{ト}p) \] と表される.
任意の$x$における曲線$C$の$y$座標と接線の$y$座標の差は,両者が$x=\alpha$で接しているので, \[ (x-\alpha)^2 \] と書ける.これを用いると,曲線$C$と$2$本の接線で囲まれた部分の面積$S$は, \[ S=\frac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}} \left( p^2+\fbox{チ}p+\fbox{ツ}\fbox{テ} \right)^{\frac{\fbox{ヌ}}{\fbox{ネ}}} \] である.$p$を変化させるとき,$S$は$p=\fbox{ノ}$で最小値$\displaystyle \frac{\fbox{ハ}\fbox{ヒ}}{\fbox{フ}}$をとる.
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