早稲田大学
2015年 人間科学学部(文系) 第5問
5
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直線
\[ \ell:x \sin \theta+y \cos \theta=1 \quad \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right) \]
に接する$4$つの円を考える.
$x \sin \theta+y \cos \theta<1$の領域で$2$つの円は互いに接しており,そのうち$1$つの円は直線$\ell$と$x$軸に,もう一方の円は直線$\ell$と$y$軸に接している.これらの円の半径はいずれも$r_1$である.このとき \[ r_1=\frac{1}{\fbox{ソ}t^2+\fbox{タ}t} \quad (\text{ただし}t=\sin \theta+\cos \theta) \] となる.
残りの$2$つの円は,$x \sin \theta+y \cos \theta>1$の領域で互いに接しており,そのうち$1$つの円は直線$\ell$と$x$軸に,もう一方の円は直線$\ell$と$y$軸に接している.これらの円の半径はいずれも$r_2$である.このとき \[ r_2=\frac{1}{\fbox{チ}t^2+\fbox{ツ}t+\fbox{テ}} \quad (\text{ただし}t=\sin \theta+\cos \theta) \] となる.
したがって \[ \fbox{ト}<\frac{r_1}{r_2} \leqq \sqrt{\fbox{ナ}}+\fbox{ニ} \] である.
$x \sin \theta+y \cos \theta<1$の領域で$2$つの円は互いに接しており,そのうち$1$つの円は直線$\ell$と$x$軸に,もう一方の円は直線$\ell$と$y$軸に接している.これらの円の半径はいずれも$r_1$である.このとき \[ r_1=\frac{1}{\fbox{ソ}t^2+\fbox{タ}t} \quad (\text{ただし}t=\sin \theta+\cos \theta) \] となる.
残りの$2$つの円は,$x \sin \theta+y \cos \theta>1$の領域で互いに接しており,そのうち$1$つの円は直線$\ell$と$x$軸に,もう一方の円は直線$\ell$と$y$軸に接している.これらの円の半径はいずれも$r_2$である.このとき \[ r_2=\frac{1}{\fbox{チ}t^2+\fbox{ツ}t+\fbox{テ}} \quad (\text{ただし}t=\sin \theta+\cos \theta) \] となる.
したがって \[ \fbox{ト}<\frac{r_1}{r_2} \leqq \sqrt{\fbox{ナ}}+\fbox{ニ} \] である.
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