大阪工業大学
2016年 工学部 第2問
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次の空所を埋めよ.
(1) 数列$\{a_n\}$が$a_1=2$,$a_{n+1}=3a_n+2^n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たすとき,$a_2=\fbox{ア}$,$a_3=\fbox{イ}$である.また,漸化式を変形すると,$a_{n+1}+2^{n+1}=3(a_n+\fbox{ウ})$となることから,数列$\{a_n\}$の一般項は,$a_n=\fbox{エ}$である.
(2) $t>0$とし,$k$を実数とする.原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$,$\mathrm{B}(t,\ -t)$について,$\mathrm{AB}=2 \sqrt{2}$であるとする.このとき,$t=\fbox{オ}$である.さらに,直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}(k,\ k)$を中心とする円$C$が$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を通るとき,$k=\fbox{カ}$であり,円$C$の半径$r$は,$r=\fbox{キ}$である.
(1) 数列$\{a_n\}$が$a_1=2$,$a_{n+1}=3a_n+2^n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たすとき,$a_2=\fbox{ア}$,$a_3=\fbox{イ}$である.また,漸化式を変形すると,$a_{n+1}+2^{n+1}=3(a_n+\fbox{ウ})$となることから,数列$\{a_n\}$の一般項は,$a_n=\fbox{エ}$である.
(2) $t>0$とし,$k$を実数とする.原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$,$\mathrm{B}(t,\ -t)$について,$\mathrm{AB}=2 \sqrt{2}$であるとする.このとき,$t=\fbox{オ}$である.さらに,直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}(k,\ k)$を中心とする円$C$が$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を通るとき,$k=\fbox{カ}$であり,円$C$の半径$r$は,$r=\fbox{キ}$である.
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