旭川医科大学
2011年 医学部 第3問
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曲線$y=e^{ax+b} \ (a \geqq 1)$と曲線$y=e^{-x}$が一点で交わり，交点におけるそれぞれの接線が垂直に交わっているとする．次の問いに答えよ．
(1) 交点の座標を$(x(a),\ y(a))$とおくとき，$b,\ x(a),\ y(a)$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(2) 曲線$y=e^{ax+b} \ (a \geqq 1)$を$C(a)$で表す．曲線$C(a)$と曲線$C(a+1)$の交点の$x$座標を$X(a)$とおくとき， \[ \lim_{a \to \infty}(X(a)-x(a)) \] を求めよ．
(3) $X(a)-x(a)$は$a \geqq 1$のとき単調減少であることを示せ．
(1) 交点の座標を$(x(a),\ y(a))$とおくとき，$b,\ x(a),\ y(a)$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(2) 曲線$y=e^{ax+b} \ (a \geqq 1)$を$C(a)$で表す．曲線$C(a)$と曲線$C(a+1)$の交点の$x$座標を$X(a)$とおくとき， \[ \lim_{a \to \infty}(X(a)-x(a)) \] を求めよ．
(3) $X(a)-x(a)$は$a \geqq 1$のとき単調減少であることを示せ．
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