琉球大学
2012年 理系 第3問
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数列$\{c_n\}$を次のように定義する．
\[ c_1=1,\ \ c_{n+1}=1+\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{3} \left( c_n+\frac{1}{4^{n+1}} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
次の問に答えよ．
(1) $n \geqq 2$のとき，$\displaystyle a_n=1+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4^n}$とする．このとき，$\displaystyle c_n=\frac{1}{3^{n-1}}+\sum_{i=2}^n \frac{a_i}{3^{n-i}} \ (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}c_n$を求めよ．
(1) $n \geqq 2$のとき，$\displaystyle a_n=1+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4^n}$とする．このとき，$\displaystyle c_n=\frac{1}{3^{n-1}}+\sum_{i=2}^n \frac{a_i}{3^{n-i}} \ (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}c_n$を求めよ．
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