座標平面上の定点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ 1)$，$\mathrm{C}(2,\ 2)$，$\mathrm{D}(3,\ 3)$と動点$\mathrm{P}$を考える．$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$から出発する．表の出る確率が$\displaystyle \frac{1}{3}$，裏の出る確率が$\displaystyle \frac{2}{3}$のコインを投げ，そのたびに，表が出れば$x$軸の正方向に$1$，裏が出れば$y$軸の正方向に$1$だけ進む．コインを$6$回投げるとき，次の問いに答えなさい．
(1) $\mathrm{P}$が$\mathrm{D}$に達する確率を求めなさい．
(2) $\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の両方を通過して$\mathrm{D}$に達する確率を求めなさい．
(3) $\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の少なくとも$1$つを通過して$\mathrm{D}$に達する確率を求めなさい．