山口大学
2014年 文系 第3問
3
![次の問いに答えなさい.(1)2つの整数a,bが1+√2=a+b√2を満たすならば,a=b=1であることを示しなさい.ただし,√2が無理数であることは示さなくてよい.(2)kを自然数とする.2つの整数a,bが(1+√2)^{k+1}=a+b√2を満たしているとき,(1+√2)^k=a´+b´√2を満たす整数a´,b´をa,bを用いて表しなさい.(3)すべての自然数nに対して,命題「2つの整数a,bが(1+√2)^n=a+b√2を満たしているならば,(1-√2)^n=a-b√2である」が成り立つことを数学的帰納法を用いて示しなさい.](./thumb/650/2794/2014_3.png)
3
次の問いに答えなさい.
(1) $2$つの整数$a,\ b$が$1+\sqrt{2}=a+b \sqrt{2}$を満たすならば,$a=b=1$であることを示しなさい.ただし,$\sqrt{2}$が無理数であることは示さなくてよい.
(2) $k$を自然数とする.$2$つの整数$a,\ b$が$(1+\sqrt{2})^{k+1}=a+b \sqrt{2}$を満たしているとき,$(1+\sqrt{2})^k=a^\prime+b^\prime \sqrt{2}$を満たす整数$a^\prime,\ b^\prime$を$a,\ b$を用いて表しなさい.
(3) すべての自然数$n$に対して,
命題「$2$つの整数$a,\ b$が$(1+\sqrt{2})^n=a+b \sqrt{2}$を満たしているならば,$(1-\sqrt{2})^n=a-b \sqrt{2}$である」
が成り立つことを数学的帰納法を用いて示しなさい.
(1) $2$つの整数$a,\ b$が$1+\sqrt{2}=a+b \sqrt{2}$を満たすならば,$a=b=1$であることを示しなさい.ただし,$\sqrt{2}$が無理数であることは示さなくてよい.
(2) $k$を自然数とする.$2$つの整数$a,\ b$が$(1+\sqrt{2})^{k+1}=a+b \sqrt{2}$を満たしているとき,$(1+\sqrt{2})^k=a^\prime+b^\prime \sqrt{2}$を満たす整数$a^\prime,\ b^\prime$を$a,\ b$を用いて表しなさい.
(3) すべての自然数$n$に対して,
命題「$2$つの整数$a,\ b$が$(1+\sqrt{2})^n=a+b \sqrt{2}$を満たしているならば,$(1-\sqrt{2})^n=a-b \sqrt{2}$である」
が成り立つことを数学的帰納法を用いて示しなさい.
類題(関連度順)
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