山形大学
2014年 医学部 第4問
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![行列A=(\begin{array}{cc}7&-4\5&-2\end{array})について,次の問に答えよ.ただし,nは自然数とする.(1)P=(\begin{array}{cc}4&1\5&1\end{array})とするとき,P^{-1}APを求めよ.(2)A^nを求めよ.(3)数列{a_n}を漸化式a_1=2,a_{n+1}=\frac{7a_n-4}{5a_n-2}で定める.(i)A^n=(\begin{array}{cc}p_n&q_n\r_n&s_n\end{array})とおくとき,A^{n+1}=AA^nであることと数学的帰納法を用いてa_{n+1}=\frac{2p_n+q_n}{2r_n+s_n}が成り立つことを示せ.(ii)数列{a_n}の一般項を求めよ.](./thumb/72/2151/2014_4.png)
4
行列$A=\left( \begin{array}{cc}
7 & -4 \\
5 & -2
\end{array} \right)$について,次の問に答えよ.ただし,$n$は自然数とする.
(1) $P=\left( \begin{array}{cc} 4 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} \right)$とするとき,$P^{-1}AP$を求めよ.
(2) $A^n$を求めよ.
(3) 数列$\{a_n\}$を漸化式$a_1=2$,$\displaystyle a_{n+1}=\frac{7a_n-4}{5a_n-2}$で定める.
(ⅰ) $A^n=\left( \begin{array}{cc} p_n & q_n \\ r_n & s_n \end{array} \right)$とおくとき,$A^{n+1}=AA^n$であることと数学的帰納法を用いて$\displaystyle a_{n+1}=\frac{2p_n+q_n}{2r_n+s_n}$が成り立つことを示せ.
(ⅱ) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
(1) $P=\left( \begin{array}{cc} 4 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} \right)$とするとき,$P^{-1}AP$を求めよ.
(2) $A^n$を求めよ.
(3) 数列$\{a_n\}$を漸化式$a_1=2$,$\displaystyle a_{n+1}=\frac{7a_n-4}{5a_n-2}$で定める.
(ⅰ) $A^n=\left( \begin{array}{cc} p_n & q_n \\ r_n & s_n \end{array} \right)$とおくとき,$A^{n+1}=AA^n$であることと数学的帰納法を用いて$\displaystyle a_{n+1}=\frac{2p_n+q_n}{2r_n+s_n}$が成り立つことを示せ.
(ⅱ) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
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