早稲田大学
2011年 基幹理工・創造理工・先進理工 第5問
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![四面体OABCにおいてOA=BC=2,OB=3,OC=AB=4,AC=2√6である.また,ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOB,ベクトルc=ベクトルOCとする.以下の問に答えよ.(1)内積ベクトルa・ベクトルb,ベクトルa・ベクトルc,ベクトルb・ベクトルcを求めよ.(2)△OABを含む平面をHとする.H上の点Pで直線PCとHが直交するものをとる.このとき,ベクトルOP=xベクトルa+yベクトルbとなるx,yを求めよ.(3)平面Hを直線OA,AB,BOで右図のように7つの\領域ア,イ,ウ,エ,オ,カ,キにわける.点Pはどの\領域に入るか答えよ.\img{304_23_2011_1}{20}(4)辺ABで△ABCと△OABのなす角は鋭角になるか,直角になるか,それとも鈍角になるかを判定せよ.ただし,1辺を共有する2つの三角形のなす角とは,共有する辺に直交する平面での2つの三角形の切り口のなす角のことである.](./thumb/304/14/2011_5.png)
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四面体$\mathrm{OABC}$において$\mathrm{OA}=\mathrm{BC}=2$,$\mathrm{OB}=3$,$\mathrm{OC}=\mathrm{AB}=4$,$\mathrm{AC}=2\sqrt{6}$である.
また,$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}= \overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする.以下の問に答えよ.
(1) 内積$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c},\ \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}$を求めよ.
(2) $\triangle \mathrm{OAB}$を含む平面を$H$とする.$H$上の点$\mathrm{P}$で直線$\mathrm{PC}$と$H$が直交するものをとる.このとき,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$となる$x,\ y$を求めよ.
(3) 平面$H$を直線$\mathrm{OA}$,$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BO}$で右図のように$7$つの \\ 領域ア,イ,ウ,エ,オ,カ,キにわける.点$\mathrm{P}$はどの \\ 領域に入るか答えよ. \img{304_23_2011_1}{20}
(4) 辺$\mathrm{AB}$で$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{OAB}$のなす角は鋭角になるか,直角になるか,それとも鈍角になるかを判定せよ.ただし,$1$辺を共有する$2$つの三角形のなす角とは,共有する辺に直交する平面での$2$つの三角形の切り口のなす角のことである.
(1) 内積$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c},\ \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}$を求めよ.
(2) $\triangle \mathrm{OAB}$を含む平面を$H$とする.$H$上の点$\mathrm{P}$で直線$\mathrm{PC}$と$H$が直交するものをとる.このとき,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$となる$x,\ y$を求めよ.
(3) 平面$H$を直線$\mathrm{OA}$,$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BO}$で右図のように$7$つの \\ 領域ア,イ,ウ,エ,オ,カ,キにわける.点$\mathrm{P}$はどの \\ 領域に入るか答えよ. \img{304_23_2011_1}{20}
(4) 辺$\mathrm{AB}$で$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{OAB}$のなす角は鋭角になるか,直角になるか,それとも鈍角になるかを判定せよ.ただし,$1$辺を共有する$2$つの三角形のなす角とは,共有する辺に直交する平面での$2$つの三角形の切り口のなす角のことである.
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