明治大学
2010年 理工学部 第1問
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次の各問の$\fbox{}$にあてはまる数を記入せよ.
(1) 正の値をとる関数$f(x)$が, \[ f^\prime(x)=\log (f(x)),\quad f(0)=\sqrt{e} \] を満たすとき, \[ f^\prime(0)=\fbox{ア},\quad f^{\prime\prime}(0)=\fbox{イ},\quad f^{\prime\prime\prime}(0)=\fbox{ウ} \] である.ただし,$e$は自然対数の底とする.
(2) 複素数$z$が,等式$z^2=-15-8i$を満たすなら,
$z=\fbox{エ}-\fbox{オ}i$ \quad または \quad $z=-\fbox{エ}+\fbox{オ}i$
である.ただし,$i$は虚数単位とする.
(3) $A=\left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right),\ O=\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$とし,$a,\ b,\ c,\ d$はそれぞれ$1$または$-1$とする.$AB=O,\ BA \neq O$ならば, \[ BA=\fbox{カ}B,\quad B^2=\left( \begin{array}{cc} \fbox{キ} & \fbox{ク} \\ \fbox{ケ} & \fbox{コ} \end{array} \right) \] である.
(4) $\alpha$は$0 \leqq \alpha \leqq \pi$を満たす実数の定数とする.関数 \[ f(x)=\cos x+\cos (x+\alpha)+\cos (x+2\alpha) \] が任意の$x$に対して一定の値$c$をとるとき,$c=\fbox{サ}$であり,$\alpha=\fbox{シ}$である.
(1) 正の値をとる関数$f(x)$が, \[ f^\prime(x)=\log (f(x)),\quad f(0)=\sqrt{e} \] を満たすとき, \[ f^\prime(0)=\fbox{ア},\quad f^{\prime\prime}(0)=\fbox{イ},\quad f^{\prime\prime\prime}(0)=\fbox{ウ} \] である.ただし,$e$は自然対数の底とする.
(2) 複素数$z$が,等式$z^2=-15-8i$を満たすなら,
$z=\fbox{エ}-\fbox{オ}i$ \quad または \quad $z=-\fbox{エ}+\fbox{オ}i$
である.ただし,$i$は虚数単位とする.
(3) $A=\left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right),\ O=\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$とし,$a,\ b,\ c,\ d$はそれぞれ$1$または$-1$とする.$AB=O,\ BA \neq O$ならば, \[ BA=\fbox{カ}B,\quad B^2=\left( \begin{array}{cc} \fbox{キ} & \fbox{ク} \\ \fbox{ケ} & \fbox{コ} \end{array} \right) \] である.
(4) $\alpha$は$0 \leqq \alpha \leqq \pi$を満たす実数の定数とする.関数 \[ f(x)=\cos x+\cos (x+\alpha)+\cos (x+2\alpha) \] が任意の$x$に対して一定の値$c$をとるとき,$c=\fbox{サ}$であり,$\alpha=\fbox{シ}$である.
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