公立はこだて未来大学
2010年 理系 第4問
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![以下の問いに答えよ.(1)三角関数の加法定理を用いて,次の等式を証明せよ.sinα-sinβ=2cos\frac{α+β}{2}sin\frac{α-β}{2}(2)次の不等式を証明せよ.|sinα-sinβ|≦|α-β|\\必要ならば,実数θに対して成り立つ不等式|sinθ|≦|θ|を用いてよい.(3)数列{a_n}を,次の条件によって定める.a_1=π/2,a_{n+1}=1/2sina_n+π/2(n=1,2,3,・・・)このとき,次の不等式を証明せよ.|a_{n+2|-a_{n+1}}≦1/2|a_{n+1|-a_n}(n=1,2,3,・・・)(4)(3)の数列{a_n}に対して,次の不等式を証明せよ.|a_{n+1|-a_n}≦(1/2)^n(n=1,2,3,・・・)](./thumb/9/0/2010_4.png)
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以下の問いに答えよ.
(1) 三角関数の加法定理を用いて,次の等式を証明せよ. \[ \sin \alpha-\sin \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2} \]
(2) 次の不等式を証明せよ.$|\sin \alpha-\sin \beta| \leqq |\alpha-\beta|$ \\ 必要ならば,実数$\theta$に対して成り立つ不等式$|\sin \theta| \leqq |\theta|$を用いてよい.
(3) 数列$\{a_n\}$を,次の条件によって定める. \[ a_1=\frac{\pi}{2},\quad a_{n+1}=\frac{1}{2}\sin a_n+\frac{\pi}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] このとき,次の不等式を証明せよ.$\displaystyle |a_{n+2|-a_{n+1}} \leqq \frac{1}{2} |a_{n+1|-a_n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(4) (3)の数列$\{a_n\}$に対して,次の不等式を証明せよ.$\displaystyle |a_{n+1|-a_n} \leqq \left( \frac{1}{2} \right)^n$ \ $(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(1) 三角関数の加法定理を用いて,次の等式を証明せよ. \[ \sin \alpha-\sin \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2} \]
(2) 次の不等式を証明せよ.$|\sin \alpha-\sin \beta| \leqq |\alpha-\beta|$ \\ 必要ならば,実数$\theta$に対して成り立つ不等式$|\sin \theta| \leqq |\theta|$を用いてよい.
(3) 数列$\{a_n\}$を,次の条件によって定める. \[ a_1=\frac{\pi}{2},\quad a_{n+1}=\frac{1}{2}\sin a_n+\frac{\pi}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] このとき,次の不等式を証明せよ.$\displaystyle |a_{n+2|-a_{n+1}} \leqq \frac{1}{2} |a_{n+1|-a_n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(4) (3)の数列$\{a_n\}$に対して,次の不等式を証明せよ.$\displaystyle |a_{n+1|-a_n} \leqq \left( \frac{1}{2} \right)^n$ \ $(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
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