東京薬科大学
2014年 薬学部(B前期) 第4問
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中心$\mathrm{O}$,半径$1$の円周上に定点$\mathrm{A}$と動点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$があり,$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$は常に$\angle \mathrm{PAQ}={120}^\circ$を満たしながら動いている.$\angle \mathrm{OAP}=\theta$として次の各問に答えよ.ただし,$\ast$については$+,\ -$の$1$つが入る.
(1) $\theta$の動ける範囲は${\fbox{あい}}^\circ<\theta<{\fbox{うえ}}^\circ$である.
(2) $\mathrm{AP}$,$\mathrm{AQ}$を$\sin \theta$,$\cos \theta$を用いて表すと, \[ \mathrm{AP}=\fbox{お} \cos \theta,\quad \mathrm{AQ}=\sqrt{\fbox{か}} \sin \theta+\fbox{$\ast$ き} \cos \theta \] となる.
(3) $\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は,点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$がどこにあっても常に$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{く}}}{\fbox{け}}$である.
(4) $\triangle \mathrm{APQ}$の面積$S(\theta)$を$\sin 2\theta$,$\cos 2\theta$を用いて表すと, \[ S(\theta)=\frac{\fbox{こ}}{\fbox{さ}} \sin 2\theta-\frac{\sqrt{\fbox{し}}}{\fbox{す}} \cos 2\theta-\frac{\sqrt{\fbox{せ}}}{\fbox{そ}} \] となり,$S(\theta)$は$\theta={\fbox{たち}}^\circ$のとき最大値$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{つ}}}{\fbox{て}}$をとる.
(1) $\theta$の動ける範囲は${\fbox{あい}}^\circ<\theta<{\fbox{うえ}}^\circ$である.
(2) $\mathrm{AP}$,$\mathrm{AQ}$を$\sin \theta$,$\cos \theta$を用いて表すと, \[ \mathrm{AP}=\fbox{お} \cos \theta,\quad \mathrm{AQ}=\sqrt{\fbox{か}} \sin \theta+\fbox{$\ast$ き} \cos \theta \] となる.
(3) $\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は,点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$がどこにあっても常に$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{く}}}{\fbox{け}}$である.
(4) $\triangle \mathrm{APQ}$の面積$S(\theta)$を$\sin 2\theta$,$\cos 2\theta$を用いて表すと, \[ S(\theta)=\frac{\fbox{こ}}{\fbox{さ}} \sin 2\theta-\frac{\sqrt{\fbox{し}}}{\fbox{す}} \cos 2\theta-\frac{\sqrt{\fbox{せ}}}{\fbox{そ}} \] となり,$S(\theta)$は$\theta={\fbox{たち}}^\circ$のとき最大値$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{つ}}}{\fbox{て}}$をとる.
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