旭川医科大学
2010年 医学部 第2問
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![α>1とする.0<t<\frac{π}{α-1}となるtに対して,xy平面上の点P(cost,sint)と点Q(cosαt,sinαt)を通る直線をℓ_tとする.次の問いに答えよ.(1)直線ℓ_tの方程式をf(t)x+g(t)y=h(t)とする.h(t)=-sin(α-1)tのとき,f(t),g(t)を求めよ.(2)行列(\begin{array}{cc}f(t)&g(t)\f´(t)&g´(t)\end{array})は逆行列をもつことを示せ.(3)x(t),y(t)を(\begin{array}{cc}f(t)&g(t)\f´(t)&g´(t)\end{array})(\begin{array}{c}x(t)\y(t)\end{array})=(\begin{array}{c}h(t)\h´(t)\end{array})を満たすものとし,点R(x(t),y(t))が描く曲線をCとする.このとき,点Rは直線ℓ_t上にあり,曲線Cの点Rにおける接線はℓ_tと一致することを示せ.](./thumb/1/1/2010_2.png)
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$\alpha>1$とする.$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{\alpha-1}$となる$t$に対して,$xy$平面上の点P$(\cos t,\ \sin t)$と点Q$(\cos \alpha t,\ \sin \alpha t)$を通る直線を$\ell_t$とする.次の問いに答えよ.
(1) 直線$\ell_t$の方程式を \[ f(t)x+g(t)y=h(t) \] とする.$h(t)=-\sin (\alpha-1)t$のとき,$f(t),\ g(t)$を求めよ.
(2) 行列$\left( \begin{array}{cc} f(t) & g(t) \\ f^\prime(t) & g^\prime(t) \end{array} \right)$は逆行列をもつことを示せ.
(3) $x(t),\ y(t)$を \[ \left( \begin{array}{cc} f(t) & g(t) \\ f^\prime(t) & g^\prime(t) \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} h(t) \\ h^\prime(t) \end{array} \right) \] を満たすものとし,点R$(x(t),\ y(t))$が描く曲線を$C$とする.このとき,点Rは直線$\ell_t$上にあり,曲線$C$の点Rにおける接線は$\ell_t$と一致することを示せ.
(1) 直線$\ell_t$の方程式を \[ f(t)x+g(t)y=h(t) \] とする.$h(t)=-\sin (\alpha-1)t$のとき,$f(t),\ g(t)$を求めよ.
(2) 行列$\left( \begin{array}{cc} f(t) & g(t) \\ f^\prime(t) & g^\prime(t) \end{array} \right)$は逆行列をもつことを示せ.
(3) $x(t),\ y(t)$を \[ \left( \begin{array}{cc} f(t) & g(t) \\ f^\prime(t) & g^\prime(t) \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} h(t) \\ h^\prime(t) \end{array} \right) \] を満たすものとし,点R$(x(t),\ y(t))$が描く曲線を$C$とする.このとき,点Rは直線$\ell_t$上にあり,曲線$C$の点Rにおける接線は$\ell_t$と一致することを示せ.
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