東京慈恵会医科大学
2012年 理系 第2問
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![aを実数とする.xy平面上の2曲線\qquadC_1:y=e^x,C_2:y=-e^{1-x}+aを考える.C_1上の点P(t,e^t)(t>0)におけるC_1の接線ℓ_tが,C_2上の点Q(s,-e^{1-s}+a)におけるC_2の接線にもなっているとき,次の問いに答えよ.ただし,eは自然対数の底である.(1)tとsの関係式を求めよ.また,aをtを用いて表せ.(2)C_1,ℓ_tおよびy軸で囲まれた部分の面積をS_1(t)とし,C_2,ℓ_tおよびy軸で囲まれた部分の面積をS_2(t)とする.ただし,Qがy軸上にあるときはS_2(t)=0とする.(i)S_1(t),S_2(t)をtを用いて表せ.(ii)S(t)=S_1(t)+S_2(t)とする.tがt>0の範囲を動くとき,tの関数S(t)の最小値を求めよ.](./thumb/254/778/2012_2.png)
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$a$を実数とする.$xy$平面上の$2$曲線
\qquad $C_1: y=e^x, \quad C_2: y=-e^{1-x}+a$
を考える.
$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^t) \ \ (t>0)$における$C_1$の接線$\ell_t$が,$C_2$上の点$\mathrm{Q}(s,\ -e^{1-s}+a)$における$C_2$の接線にもなっているとき,次の問いに答えよ.ただし,$e$は自然対数の底である.
(1) $t$と$s$の関係式を求めよ.また,$a$を$t$を用いて表せ.
(2) $C_1,\ \ell_t$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とし,$C_2,\ \ell_t$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_2(t)$とする.ただし,$\mathrm{Q}$が$y$軸上にあるときは$S_2(t)=0$とする.
(ⅰ) $S_1(t),\ S_2(t)$を$t$を用いて表せ.
(ⅱ) $S(t)=S_1(t)+S_2(t)$とする.$t$が$t>0$の範囲を動くとき,$t$の関数$S(t)$の最小値を求めよ.
\qquad $C_1: y=e^x, \quad C_2: y=-e^{1-x}+a$
を考える.
$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^t) \ \ (t>0)$における$C_1$の接線$\ell_t$が,$C_2$上の点$\mathrm{Q}(s,\ -e^{1-s}+a)$における$C_2$の接線にもなっているとき,次の問いに答えよ.ただし,$e$は自然対数の底である.
(1) $t$と$s$の関係式を求めよ.また,$a$を$t$を用いて表せ.
(2) $C_1,\ \ell_t$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とし,$C_2,\ \ell_t$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_2(t)$とする.ただし,$\mathrm{Q}$が$y$軸上にあるときは$S_2(t)=0$とする.
(ⅰ) $S_1(t),\ S_2(t)$を$t$を用いて表せ.
(ⅱ) $S(t)=S_1(t)+S_2(t)$とする.$t$が$t>0$の範囲を動くとき,$t$の関数$S(t)$の最小値を求めよ.
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