愛知工業大学
2011年 理系 第1問
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次の$\fbox{}$を適当に補え.
(1) 連続する$4$つの自然数を小さい順に$a,\ b,\ c,\ d$とする.$\displaystyle \frac{ac}{bd}=\frac{5}{8}$のとき,$a=\fbox{}$である.
(2) 袋の中に$0$と書かれたカードが$1$枚,$1$と書かれたカードが$2$枚,$2$と書かれたカードが$3$枚,合わせて$6$枚のカードが入っている.この袋から$1$枚ずつ$4$枚のカードを取り出し,取り出した順に左からカードの数字を書き並べたとき,$2011$となる確率は$\fbox{}$である.また,$1$枚カードを取り出し,カードを袋に戻すことを$4$回くり返した場合,取り出した順に左からカードの数字を書き並べたとき,$2011$となる確率は$\fbox{}$である.
(3) 数列$\{a_n\}$は関係式$a_1=1$,$\displaystyle 2^{a_{n+1}}=\frac{4^{a_n}}{\sqrt{2}} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$をみたすとする.このとき,$a_3=\fbox{}$であり,$a_n=\fbox{}$である.
(4) $\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\pi$において,$\tan \theta=-2$のとき,$\cos^2 \theta=\fbox{}$,$\displaystyle \sin \left( 2\theta+\frac{\pi}{4} \right)=\fbox{}$である.
(5) $2$次方程式$x^2-kx+9=0$が実数解をもつような実数$k$の範囲は$\fbox{}$である.このとき,その実数解を$\alpha,\ \beta$とすると,$(\alpha+1)^2+(\beta+1)^2$の最小値は$\fbox{}$である. 整式$x^3+3x$を$x^2+1$で割った商は$\fbox{}$であり,余りは$\fbox{}$である.また,$\displaystyle \int_0^2 \frac{x^3+3x}{x^2+1} \, dx=\fbox{}$である.
(1) 連続する$4$つの自然数を小さい順に$a,\ b,\ c,\ d$とする.$\displaystyle \frac{ac}{bd}=\frac{5}{8}$のとき,$a=\fbox{}$である.
(2) 袋の中に$0$と書かれたカードが$1$枚,$1$と書かれたカードが$2$枚,$2$と書かれたカードが$3$枚,合わせて$6$枚のカードが入っている.この袋から$1$枚ずつ$4$枚のカードを取り出し,取り出した順に左からカードの数字を書き並べたとき,$2011$となる確率は$\fbox{}$である.また,$1$枚カードを取り出し,カードを袋に戻すことを$4$回くり返した場合,取り出した順に左からカードの数字を書き並べたとき,$2011$となる確率は$\fbox{}$である.
(3) 数列$\{a_n\}$は関係式$a_1=1$,$\displaystyle 2^{a_{n+1}}=\frac{4^{a_n}}{\sqrt{2}} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$をみたすとする.このとき,$a_3=\fbox{}$であり,$a_n=\fbox{}$である.
(4) $\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\pi$において,$\tan \theta=-2$のとき,$\cos^2 \theta=\fbox{}$,$\displaystyle \sin \left( 2\theta+\frac{\pi}{4} \right)=\fbox{}$である.
(5) $2$次方程式$x^2-kx+9=0$が実数解をもつような実数$k$の範囲は$\fbox{}$である.このとき,その実数解を$\alpha,\ \beta$とすると,$(\alpha+1)^2+(\beta+1)^2$の最小値は$\fbox{}$である. 整式$x^3+3x$を$x^2+1$で割った商は$\fbox{}$であり,余りは$\fbox{}$である.また,$\displaystyle \int_0^2 \frac{x^3+3x}{x^2+1} \, dx=\fbox{}$である.
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